Theorem mulgmodid 18992

Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmodid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmodid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgmodid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmodid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulgmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12475	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnrp 12905	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3		modval 13775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
6	5	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
7		zcn 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnz 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		nnre 12135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12		nnne0 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
13		redivcl 11843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
14	1, 11, 12, 13	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
17	10, 16	zmulcld 12586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℂ)
19	8, 18	negsubd 11481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
21	20	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
22		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	10	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	16	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
27	25, 26	zmulcld 12586	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12582	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
29		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	29	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		mulgmodid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
32		mulgmodid.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
33		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
34	31, 32, 33	mulgdir 18985	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
35	22, 24, 28, 30, 34	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
36	6, 21, 35	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
37		nncn 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	16	zcnd 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulneg2d 11574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
42	41	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋))
43	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
44	43	flcld 13702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44	znegcld 12582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
46	31, 32	mulgassr 18991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
47	22, 45, 25, 30, 46	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
48		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) = 0 → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
50	49	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
51		mulgmodid.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
52	31, 32, 51	mulgz 18981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
53	22, 45, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
54	47, 50, 53	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
55	42, 54	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
56	55	oveq2d 7365	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ))
57		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
58	31, 32	mulgcl 18970	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
59	57, 23, 29, 58	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	31, 33, 51	grprid 18847	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
61	22, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
62	36, 56, 61	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893  ⌊cfl 13694   mod cmo 13773  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  ._gcmg 18946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947

This theorem is referenced by: (None)