MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmodid 18995
Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmodid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmodid.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgmodid.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmodid ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgmodid
StepHypRef Expression
1 zre 12564 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 nnrp 12987 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
3 modval 13838 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
41, 2, 3syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
543ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
65oveq1d 7426 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
7 zcn 12565 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 nnz 12581 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 nnre 12221 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 nnne0 12248 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
13 redivcl 11935 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
141, 11, 12, 13syl3an 1160 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
15143anidm23 1421 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
1615flcld 13765 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
1710, 16zmulcld 12674 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
198, 18negsubd 11579 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
20193ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
2120oveq1d 7426 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
22 simp1 1136 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
23 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24233ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25103ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
26163ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
2725, 26zmulcld 12674 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12670 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
29 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
30293ad2ant3 1135 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 mulgmodid.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
32 mulgmodid.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
33 eqid 2732 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3431, 32, 33mulgdir 18988 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
3522, 24, 28, 30, 34syl13anc 1372 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
366, 21, 353eqtr2d 2778 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
37 nncn 12222 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3916zcnd 12669 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mulneg2d 11670 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
41403ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
4241oveq1d 7426 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹))
43153ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
4443flcld 13765 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12670 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4631, 32mulgassr 18994 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
4722, 45, 25, 30, 46syl13anc 1372 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
48 oveq2 7419 . . . . . . 7 ((๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
4948adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
50493ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
51 mulgmodid.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
5231, 32, 51mulgz 18984 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5322, 45, 52syl2anc 584 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5447, 50, 533eqtrd 2776 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5542, 54eqtr3d 2774 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5655oveq2d 7427 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ))
57 id 22 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5831, 32mulgcl 18973 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5957, 23, 29, 58syl3an 1160 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
6031, 33, 51grprid 18855 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6122, 59, 60syl2anc 584 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6236, 56, 613eqtrd 2776 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  โŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator