MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmodid 18993
Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmodid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmodid.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgmodid.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmodid ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgmodid
StepHypRef Expression
1 zre 12562 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 nnrp 12985 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
3 modval 13836 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
543ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
65oveq1d 7424 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
7 zcn 12563 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 nnz 12579 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 nnre 12219 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 nnne0 12246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
13 redivcl 11933 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
141, 11, 12, 13syl3an 1161 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
15143anidm23 1422 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
1615flcld 13763 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
1710, 16zmulcld 12672 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
198, 18negsubd 11577 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
20193ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
2120oveq1d 7424 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
22 simp1 1137 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
23 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24233ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25103ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
26163ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
2725, 26zmulcld 12672 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12668 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
29 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
30293ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 mulgmodid.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
32 mulgmodid.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
33 eqid 2733 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3431, 32, 33mulgdir 18986 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
3522, 24, 28, 30, 34syl13anc 1373 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
366, 21, 353eqtr2d 2779 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
37 nncn 12220 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3916zcnd 12667 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mulneg2d 11668 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
41403ad2ant2 1135 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
4241oveq1d 7424 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹))
43153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
4443flcld 13763 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12668 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4631, 32mulgassr 18992 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
4722, 45, 25, 30, 46syl13anc 1373 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
48 oveq2 7417 . . . . . . 7 ((๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
4948adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
50493ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
51 mulgmodid.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
5231, 32, 51mulgz 18982 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5322, 45, 52syl2anc 585 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5447, 50, 533eqtrd 2777 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5542, 54eqtr3d 2775 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5655oveq2d 7425 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ))
57 id 22 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5831, 32mulgcl 18971 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5957, 23, 29, 58syl3an 1161 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
6031, 33, 51grprid 18853 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6122, 59, 60syl2anc 585 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6236, 56, 613eqtrd 2777 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator