Theorem mulgmodid 19170

Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmodid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmodid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgmodid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmodid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulgmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnrp 13019	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3		modval 13895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
5	4	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
6	5	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
7		zcn 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnz 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		nnre 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12		nnne0 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
13		redivcl 11925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
14	1, 11, 12, 13	syl3an 1176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
17	10, 16	zmulcld 12697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℂ)
19	8, 18	negsubd 11563	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
20	19	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
21	20	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
22		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	10	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	16	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
27	25, 26	zmulcld 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12693	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
29		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	29	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		mulgmodid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
32		mulgmodid.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
33		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
34	31, 32, 33	mulgdir 19163	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
35	22, 24, 28, 30, 34	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
36	6, 21, 35	3eqtr2d 2806	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
37		nncn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	16	zcnd 12692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulneg2d 11656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
41	40	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
42	41	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋))
43	15	3ad2ant2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
44	43	flcld 13822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44	znegcld 12693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
46	31, 32	mulgassr 19169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
47	22, 45, 25, 30, 46	syl13anc 1395	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
48		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) = 0 → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
49	48	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
50	49	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
51		mulgmodid.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
52	31, 32, 51	mulgz 19159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
53	22, 45, 52	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
54	47, 50, 53	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
55	42, 54	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
56	55	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ))
57		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
58	31, 32	mulgcl 19148	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
59	57, 23, 29, 58	syl3an 1176	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	31, 33, 51	grprid 19025	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
61	22, 59, 60	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
62	36, 56, 61	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  ⌊cfl 13814   mod cmo 13893  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  ._gcmg 19124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125

This theorem is referenced by: (None)