Theorem mulgmodid 19018

Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmodid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmodid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgmodid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmodid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulgmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12464	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnrp 12894	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3		modval 13767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
6	5	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
7		zcn 12465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnz 12481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		nnre 12124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12		nnne0 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
13		redivcl 11832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
14	1, 11, 12, 13	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
17	10, 16	zmulcld 12575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℂ)
19	8, 18	negsubd 11470	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
21	20	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
22		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	10	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	16	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
27	25, 26	zmulcld 12575	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12571	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
29		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	29	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		mulgmodid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
32		mulgmodid.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
33		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
34	31, 32, 33	mulgdir 19011	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
35	22, 24, 28, 30, 34	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
36	6, 21, 35	3eqtr2d 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
37		nncn 12125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	16	zcnd 12570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulneg2d 11563	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
42	41	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋))
43	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
44	43	flcld 13694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44	znegcld 12571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
46	31, 32	mulgassr 19017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
47	22, 45, 25, 30, 46	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
48		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) = 0 → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
50	49	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
51		mulgmodid.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
52	31, 32, 51	mulgz 19007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
53	22, 45, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
54	47, 50, 53	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
55	42, 54	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
56	55	oveq2d 7357	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ))
57		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
58	31, 32	mulgcl 18996	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
59	57, 23, 29, 58	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	31, 33, 51	grprid 18873	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
61	22, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
62	36, 56, 61	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998   + caddc 11001   · cmul 11003   − cmin 11336  -cneg 11337   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℤcz 12460  ℝ⁺crp 12882  ⌊cfl 13686   mod cmo 13765  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  ._gcmg 18972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-mulg 18973

This theorem is referenced by: (None)