MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmodid 19059
Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmodid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmodid.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgmodid.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmodid ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgmodid
StepHypRef Expression
1 zre 12584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 nnrp 13009 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
3 modval 13860 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
543ad2ant2 1132 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
65oveq1d 7429 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
7 zcn 12585 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 nnz 12601 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 nnre 12241 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 nnne0 12268 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
13 redivcl 11955 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
141, 11, 12, 13syl3an 1158 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
15143anidm23 1419 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
1615flcld 13787 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
1710, 16zmulcld 12694 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12689 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
198, 18negsubd 11599 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
20193ad2ant2 1132 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
2120oveq1d 7429 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
22 simp1 1134 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
23 simpl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24233ad2ant2 1132 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25103ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
26163ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
2725, 26zmulcld 12694 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12690 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
29 simpl 482 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
30293ad2ant3 1133 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 mulgmodid.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
32 mulgmodid.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
33 eqid 2727 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3431, 32, 33mulgdir 19052 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
3522, 24, 28, 30, 34syl13anc 1370 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
366, 21, 353eqtr2d 2773 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
37 nncn 12242 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3916zcnd 12689 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mulneg2d 11690 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
41403ad2ant2 1132 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
4241oveq1d 7429 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹))
43153ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„)
4443flcld 13787 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12690 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4631, 32mulgassr 19058 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
4722, 45, 25, 30, 46syl13anc 1370 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
48 oveq2 7422 . . . . . . 7 ((๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
4948adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
50493ad2ant3 1133 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
51 mulgmodid.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
5231, 32, 51mulgz 19048 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5322, 45, 52syl2anc 583 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5447, 50, 533eqtrd 2771 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5542, 54eqtr3d 2769 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5655oveq2d 7430 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ))
57 id 22 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5831, 32mulgcl 19037 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5957, 23, 29, 58syl3an 1158 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
6031, 33, 51grprid 18916 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6122, 59, 60syl2anc 583 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6236, 56, 613eqtrd 2771 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  โŒŠcfl 13779   mod cmo 13858  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  .gcmg 19014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator