Theorem mulcani 10998

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Jan-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcan.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mulcan.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
mulcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
mulcan.4	⊢ 𝐶 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
mulcani	⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem mulcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcan.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mulcan.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mulcan.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		mulcan.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 464	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)
6		mulcan 10996	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1589	1 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259   · cmul 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595

This theorem is referenced by:  0.999...  14993  ipasslem10  28245