Theorem mul0or 11861

Description: If a product is zero, one of its factors must be zero. Theorem I.11 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem mul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
5		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		0cnd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
9	6, 7, 2, 8	mulcan2d 11855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
10	4, 9	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11	10	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
12	11	impancom 451	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
13	12	necon1bd 2957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
14	13	orrd 860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
15	14	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
16	1	mul02d 11419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
17		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
18	17	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
19	16, 18	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
20	5	mul01d 11420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 0) = 0)
21		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22	21	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
23	20, 22	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
24	19, 23	jaod 856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
25	15, 24	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116   · cmul 11121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454

This theorem is referenced by:  mulne0b  11862  msq0i  11868  mul0ori  11869  msq0d  11870  mul0ord  11871  coseq1  26374  efrlim  26815  efrlimOLD  26816