Theorem mul0or 11930

Description: If a product is zero, one of its factors must be zero. Theorem I.11 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem mul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
5		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		0cnd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
9	6, 7, 2, 8	mulcan2d 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
10	4, 9	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11	10	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
12	11	impancom 451	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
13	12	necon1bd 2964	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
14	13	orrd 862	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
15	14	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
16	1	mul02d 11488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
17		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
18	17	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
19	16, 18	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
20	5	mul01d 11489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 0) = 0)
21		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22	21	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
23	20, 22	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
24	19, 23	jaod 858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
25	15, 24	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  mulne0b  11931  msq0i  11937  mul0ori  11938  msq0d  11939  mul0ord  11940  coseq1  26585  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  zringidom  33544