MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsfn 28037
Description: Surreal multiplication is a function over surreals. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
mulsfn ·s Fn ( No × No )

Proof of Theorem mulsfn
Dummy variables 𝑧 𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-muls 28036 . 2 ·s = norec2 ((𝑧 ∈ V, 𝑚 ∈ V ↦ (1st𝑧) / 𝑥(2nd𝑧) / 𝑦(({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ ( L ‘𝑥)∃𝑞 ∈ ( L ‘𝑦)𝑎 = (((𝑝𝑚𝑦) +s (𝑥𝑚𝑞)) -s (𝑝𝑚𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘𝑥)∃𝑠 ∈ ( R ‘𝑦)𝑏 = (((𝑟𝑚𝑦) +s (𝑥𝑚𝑠)) -s (𝑟𝑚𝑠))}) |s ({𝑐 ∣ ∃𝑡 ∈ ( L ‘𝑥)∃𝑢 ∈ ( R ‘𝑦)𝑐 = (((𝑡𝑚𝑦) +s (𝑥𝑚𝑢)) -s (𝑡𝑚𝑢))} ∪ {𝑑 ∣ ∃𝑣 ∈ ( R ‘𝑥)∃𝑤 ∈ ( L ‘𝑦)𝑑 = (((𝑣𝑚𝑦) +s (𝑥𝑚𝑤)) -s (𝑣𝑚𝑤))}))))
21norec2fn 27892 1 ·s Fn ( No × No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  {cab 2712  wrex 3059  Vcvv 3457  csb 3872  cun 3922   × cxp 5649   Fn wfn 6522  cfv 6527  (class class class)co 7399  cmpo 7401  1st c1st 7980  2nd c2nd 7981   No csur 27587   |s cscut 27730   L cleft 27787   R cright 27788   +s cadds 27895   -s csubs 27955   ·s cmuls 28035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-1o 8474  df-2o 8475  df-no 27590  df-slt 27591  df-bday 27592  df-sslt 27729  df-scut 27731  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec2 27885  df-muls 28036
This theorem is referenced by:  mulsval  28038
  Copyright terms: Public domain W3C validator