MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsproplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsproplem4 28036
Description: Lemma for surreal multiplication. Under the inductive hypothesis, the product of a member of the old set of ๐ด and a member of the old set of ๐ต is a surreal number. (Contributed by Scott Fenton, 4-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsproplem.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
mulsproplem4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
mulsproplem4.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
Assertion
Ref Expression
mulsproplem4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No )
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ท,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐‘Œ,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘’,๐‘“,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐‘Œ(๐‘Ž)

Proof of Theorem mulsproplem4
StepHypRef Expression
1 mulsproplem.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
2 oldssno 27801 . . . 4 ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)) โІ No
3 mulsproplem4.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
42, 3sselid 3971 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ No )
5 oldssno 27801 . . . 4 ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)) โІ No
6 mulsproplem4.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
75, 6sselid 3971 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ No )
8 0sno 27772 . . . 4 0s โˆˆ No
98a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โˆˆ No )
10 bday0s 27774 . . . . . . . . . . . 12 ( bday โ€˜ 0s ) = โˆ…
1110, 10oveq12i 7425 . . . . . . . . . . 11 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = (โˆ… +no โˆ…)
12 0elon 6419 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ On
13 naddrid 8697 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…
1511, 14eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = โˆ…
1615, 15uneq12i 4155 . . . . . . . . 9 ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) = (โˆ… โˆช โˆ…)
17 un0 4387 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆช โˆ…) = โˆ…
1816, 17eqtri 2753 . . . . . . . 8 ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) = โˆ…
1918, 18uneq12i 4155 . . . . . . 7 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = (โˆ… โˆช โˆ…)
2019, 17eqtri 2753 . . . . . 6 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = โˆ…
2120uneq2i 4154 . . . . 5 ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆช โˆ…)
22 un0 4387 . . . . 5 ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ))
2321, 22eqtri 2753 . . . 4 ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ))
24 oldbdayim 27828 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)) โ†’ ( bday โ€˜๐‘‹) โˆˆ ( bday โ€˜๐ด))
253, 24syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( bday โ€˜๐‘‹) โˆˆ ( bday โ€˜๐ด))
26 oldbdayim 27828 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)) โ†’ ( bday โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ต))
276, 26syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( bday โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ต))
28 bdayelon 27722 . . . . . . 7 ( bday โ€˜๐ด) โˆˆ On
29 bdayelon 27722 . . . . . . 7 ( bday โ€˜๐ต) โˆˆ On
30 naddel12 8714 . . . . . . 7 ((( bday โ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘‹) โˆˆ ( bday โ€˜๐ด) โˆง ( bday โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ต)) โ†’ (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ (( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต))))
3128, 29, 30mp2an 690 . . . . . 6 ((( bday โ€˜๐‘‹) โˆˆ ( bday โ€˜๐ด) โˆง ( bday โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ต)) โ†’ (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ (( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)))
3225, 27, 31syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ (( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)))
33 elun1 4171 . . . . 5 ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ (( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โ†’ (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
3432, 33syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
3523, 34eqeltrid 2829 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((( bday โ€˜๐‘‹) +no ( bday โ€˜๐‘Œ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
361, 4, 7, 9, 9, 9, 9, 35mulsproplem1 28033 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No โˆง (( 0s <s 0s โˆง 0s <s 0s ) โ†’ (( 0s ยทs 0s ) -s ( 0s ยทs 0s )) <s (( 0s ยทs 0s ) -s ( 0s ยทs 0s )))))
3736simpld 493 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยทs ๐‘Œ) โˆˆ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   โˆช cun 3939  โˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  Oncon0 6365  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   +no cnadd 8679   No csur 27586   <s cslt 27587   bday cbday 27588   0s c0s 27768   O cold 27783   -s csubs 27946   ยทs cmuls 28023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-made 27787  df-old 27788
This theorem is referenced by:  mulsproplem5  28037  mulsproplem6  28038  mulsproplem7  28039  mulsproplem8  28040  mulsproplem9  28041
  Copyright terms: Public domain W3C validator