MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddf 8680
Description: Function statement for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddf +no :(On Γ— On)⟢On

Proof of Theorem naddf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 naddfn 8674 . 2 +no Fn (On Γ— On)
2 naddcl 8676 . . . 4 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) β†’ (𝑦 +no 𝑧) ∈ On)
32rgen2 3198 . . 3 βˆ€π‘¦ ∈ On βˆ€π‘§ ∈ On (𝑦 +no 𝑧) ∈ On
4 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( +no β€˜π‘₯) = ( +no β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©))
5 df-ov 7412 . . . . . 6 (𝑦 +no 𝑧) = ( +no β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
64, 5eqtr4di 2791 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( +no β€˜π‘₯) = (𝑦 +no 𝑧))
76eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ (( +no β€˜π‘₯) ∈ On ↔ (𝑦 +no 𝑧) ∈ On))
87ralxp 5842 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On ↔ βˆ€π‘¦ ∈ On βˆ€π‘§ ∈ On (𝑦 +no 𝑧) ∈ On)
93, 8mpbir 230 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On
10 ffnfv 7118 . 2 ( +no :(On Γ— On)⟢On ↔ ( +no Fn (On Γ— On) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On))
111, 9, 10mpbir2an 710 1 +no :(On Γ— On)⟢On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   +no cnadd 8664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-nadd 8665
This theorem is referenced by:  naddunif  8692  naddasslem1  8693  naddasslem2  8694
  Copyright terms: Public domain W3C validator