MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddf 8628
Description: Function statement for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddf +no :(On Γ— On)⟢On

Proof of Theorem naddf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 naddfn 8622 . 2 +no Fn (On Γ— On)
2 naddcl 8624 . . . 4 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) β†’ (𝑦 +no 𝑧) ∈ On)
32rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘¦ ∈ On βˆ€π‘§ ∈ On (𝑦 +no 𝑧) ∈ On
4 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( +no β€˜π‘₯) = ( +no β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©))
5 df-ov 7361 . . . . . 6 (𝑦 +no 𝑧) = ( +no β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
64, 5eqtr4di 2795 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( +no β€˜π‘₯) = (𝑦 +no 𝑧))
76eleq1d 2823 . . . 4 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ (( +no β€˜π‘₯) ∈ On ↔ (𝑦 +no 𝑧) ∈ On))
87ralxp 5798 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On ↔ βˆ€π‘¦ ∈ On βˆ€π‘§ ∈ On (𝑦 +no 𝑧) ∈ On)
93, 8mpbir 230 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On
10 ffnfv 7067 . 2 ( +no :(On Γ— On)⟢On ↔ ( +no Fn (On Γ— On) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (On Γ— On)( +no β€˜π‘₯) ∈ On))
111, 9, 10mpbir2an 710 1 +no :(On Γ— On)⟢On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   +no cnadd 8612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-nadd 8613
This theorem is referenced by:  naddunif  8638  naddasslem1  8639  naddasslem2  8640
  Copyright terms: Public domain W3C validator