MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddasslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem naddasslem1 8697
Description: Lemma for naddass 8699. Expand out the expression for natural addition of three arguments. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddasslem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝐢) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem naddasslem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 naddcl 8680 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On) β†’ (𝐴 +no 𝐡) ∈ On)
213adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no 𝐡) ∈ On)
3 simp3 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 ∈ On)
4 naddov3 8683 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On) β†’ (𝐴 +no 𝐡) = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) βŠ† π‘Ž})
543adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no 𝐡) = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) βŠ† π‘Ž})
6 intmin 4972 . . . . 5 (𝐢 ∈ On β†’ ∩ {𝑐 ∈ On ∣ 𝐢 βŠ† 𝑐} = 𝐢)
76eqcomd 2737 . . . 4 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 = ∩ {𝑐 ∈ On ∣ 𝐢 βŠ† 𝑐})
873ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 = ∩ {𝑐 ∈ On ∣ 𝐢 βŠ† 𝑐})
92, 3, 5, 8naddunif 8696 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝐢) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯})
10 df-3an 1088 . . . . . 6 ((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯) ↔ ((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯) ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯))
11 unss 4184 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}))) βŠ† π‘₯)
12 ancom 460 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯))
13 xpundir 5745 . . . . . . . . . . 11 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢}) = ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βˆͺ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}))
1413imaeq2i 6057 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) = ( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βˆͺ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})))
15 imaundi 6149 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βˆͺ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}))) = (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})))
1614, 15eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) = (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})))
1716sseq1i 4010 . . . . . . . 8 (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}))) βŠ† π‘₯)
1811, 12, 173bitr4i 303 . . . . . . 7 ((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯) ↔ ( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯)
1918anbi1i 623 . . . . . 6 (((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯) ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯))
20 unss 4184 . . . . . 6 ((( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯)
2110, 19, 203bitrri 298 . . . . 5 ((( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯))
22 naddfn 8678 . . . . . . . . 9 +no Fn (On Γ— On)
23 fnfun 6649 . . . . . . . . 9 ( +no Fn (On Γ— On) β†’ Fun +no )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun +no
25 imassrn 6070 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) βŠ† ran +no
26 naddf 8684 . . . . . . . . . . . 12 +no :(On Γ— On)⟢On
27 frn 6724 . . . . . . . . . . . 12 ( +no :(On Γ— On)⟢On β†’ ran +no βŠ† On)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran +no βŠ† On
2925, 28sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) βŠ† On
30 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 ∈ On)
3130snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐢} βŠ† On)
32 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) βŠ† On ∧ {𝐢} βŠ† On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
3329, 31, 32sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
3422fndmi 6653 . . . . . . . . 9 dom +no = (On Γ— On)
3533, 34sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}) βŠ† dom +no )
36 funimassov 7588 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢}) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯))
3724, 35, 36sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯))
38 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑝 +no 𝑐) = (𝑝 +no 𝐢))
3938eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ (𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯))
4039ralsng 4677 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ (𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯))
4130, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ (𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯))
4241ralbidv 3176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯))
43 onss 7776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 βŠ† On)
44433ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 βŠ† On)
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐴 βŠ† On)
46 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐡 ∈ On)
4746snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐡} βŠ† On)
48 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† On ∧ {𝐡} βŠ† On) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) βŠ† (On Γ— On))
4945, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) βŠ† (On Γ— On))
50 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (π‘Ž +no 𝑏) β†’ (𝑝 +no 𝐢) = ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢))
5150eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (π‘Ž +no 𝑏) β†’ ((𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
5251imaeqalov 7650 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ (𝐴 Γ— {𝐡}) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {𝐡} ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
5322, 49, 52sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {𝐡} ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
54 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘Ž +no 𝑏) = (π‘Ž +no 𝐡))
5554oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) = ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢))
5655eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ (((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
5756ralsng 4677 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡} ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
5846, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡} ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
5958ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {𝐡} ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
6053, 59bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
6137, 42, 603bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
62 imassrn 6070 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βŠ† ran +no
6362, 28sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βŠ† On
64 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βŠ† On ∧ {𝐢} βŠ† On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
6563, 31, 64sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
6665, 34sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βŠ† dom +no )
67 funimassov 7588 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢}) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯))
6824, 66, 67sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯))
6941ralbidv 3176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝑝 +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯))
70 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ On)
7170snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐴} βŠ† On)
72 onss 7776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† On)
73723ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐡 βŠ† On)
7473adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐡 βŠ† On)
75 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} βŠ† On ∧ 𝐡 βŠ† On) β†’ ({𝐴} Γ— 𝐡) βŠ† (On Γ— On))
7671, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— 𝐡) βŠ† (On Γ— On))
7751imaeqalov 7650 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ ({𝐴} Γ— 𝐡) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
7822, 76, 77sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
79 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž +no 𝑏) = (𝐴 +no 𝑏))
8079oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) = ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢))
8180eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
8281ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
8382ralsng 4677 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
8470, 83syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
8578, 84bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡))(𝑝 +no 𝐢) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
8668, 69, 853bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯))
872adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 +no 𝐡) ∈ On)
8887snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {(𝐴 +no 𝐡)} βŠ† On)
89 onss 7776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 βŠ† On)
90893ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
92 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({(𝐴 +no 𝐡)} βŠ† On ∧ 𝐢 βŠ† On) β†’ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9388, 91, 92syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9493, 34sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢) βŠ† dom +no )
95 funimassov 7588 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {(𝐴 +no 𝐡)}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž +no 𝑐) ∈ π‘₯))
9624, 94, 95sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {(𝐴 +no 𝐡)}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž +no 𝑐) ∈ π‘₯))
97 ovex 7445 . . . . . . . 8 (𝐴 +no 𝐡) ∈ V
98 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝐴 +no 𝐡) β†’ (π‘Ž +no 𝑐) = ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐))
9998eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝐴 +no 𝐡) β†’ ((π‘Ž +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯))
10099ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝐴 +no 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯))
10197, 100ralsn 4685 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ {(𝐴 +no 𝐡)}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž +no 𝑐) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)
10296, 101bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯))
10361, 86, 1023anbi123d 1435 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡})) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) Γ— {𝐢})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢)) βŠ† π‘₯) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)))
10421, 103bitrid 283 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯ ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)))
105104rabbidva 3438 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)})
106105inteqd 4955 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— 𝐡)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐴 Γ— {𝐡}))) Γ— {𝐢})) βˆͺ ( +no β€œ ({(𝐴 +no 𝐡)} Γ— 𝐢))) βŠ† π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)})
1079, 106eqtrd 2771 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝐢) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 ((π‘Ž +no 𝐡) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐴 +no 𝑏) +no 𝐢) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 ((𝐴 +no 𝐡) +no 𝑐) ∈ π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆ© cint 4950   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7412   +no cnadd 8668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-nadd 8669
This theorem is referenced by:  naddass  8699
  Copyright terms: Public domain W3C validator