MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem naddasslem2 8690
Description: Lemma for naddass 8691. Expand out the expression for natural addition of three arguments. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddasslem2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem naddasslem2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ On)
2 naddcl 8672 . . . 4 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
323adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
4 intmin 4962 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž} = 𝐴)
54eqcomd 2730 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž})
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž})
7 naddov3 8675 . . . 4 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) = ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† 𝑝})
873adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) = ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† 𝑝})
91, 3, 6, 8naddunif 8688 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯})
10 3anass 1092 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯)))
11 unss 4176 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
12 ancom 460 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯))
13 xpundi 5734 . . . . . . . . . . 11 ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) = (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))
1413imaeq2i 6047 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = ( +no β€œ (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
15 imaundi 6139 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
1614, 15eqtri 2752 . . . . . . . . 9 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
1716sseq1i 4002 . . . . . . . 8 (( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
1811, 12, 173bitr4i 303 . . . . . . 7 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
1918anbi2i 622 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯)) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯))
20 unss 4176 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯)
2110, 19, 203bitrri 298 . . . . 5 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯))
22 naddfn 8670 . . . . . . . . 9 +no Fn (On Γ— On)
23 fnfun 6639 . . . . . . . . 9 ( +no Fn (On Γ— On) β†’ Fun +no )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun +no
25 onss 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 βŠ† On)
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 βŠ† On)
273adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
2827snssd 4804 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {(𝐡 +no 𝐢)} βŠ† On)
29 xpss12 5681 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† On ∧ {(𝐡 +no 𝐢)} βŠ† On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† (On Γ— On))
3026, 28, 29syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† (On Γ— On))
3122fndmi 6643 . . . . . . . . 9 dom +no = (On Γ— On)
3230, 31sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† dom +no )
33 funimassov 7577 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
3424, 32, 33sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
35 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (𝐡 +no 𝐢) ∈ V
36 oveq2 7409 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝐡 +no 𝐢) β†’ (π‘Ž +no 𝑝) = (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)))
3736eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝐡 +no 𝐢) β†’ ((π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
3835, 37ralsn 4677 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯)
3938ralbii 3085 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯)
4034, 39bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
41 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ On)
4241snssd 4804 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐴} βŠ† On)
43 imassrn 6060 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† ran +no
44 naddf 8676 . . . . . . . . . . . 12 +no :(On Γ— On)⟢On
45 frn 6714 . . . . . . . . . . . 12 ( +no :(On Γ— On)⟢On β†’ ran +no βŠ† On)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran +no βŠ† On
4743, 46sstri 3983 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† On
48 xpss12 5681 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} βŠ† On ∧ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† (On Γ— On))
4942, 47, 48sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† (On Γ— On))
5049, 31sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† dom +no )
51 funimassov 7577 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5224, 50, 51sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
53 oveq1 7408 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž +no 𝑝) = (𝐴 +no 𝑝))
5453eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5554ralbidv 3169 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5655ralsng 4669 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5741, 56syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
58 onss 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† On)
59583ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐡 βŠ† On)
60 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 ∈ On)
6160snssd 4804 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐢} βŠ† On)
62 xpss12 5681 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βŠ† On ∧ {𝐢} βŠ† On) β†’ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
6359, 61, 62syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
64 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑏 +no 𝑐) β†’ (𝐴 +no 𝑝) = (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)))
6564eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑏 +no 𝑐) β†’ ((𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
6665imaeqalov 7639 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
6722, 63, 66sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
68 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑏 +no 𝑐) = (𝑏 +no 𝐢))
6968oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)))
7069eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7170ralsng 4669 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7260, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7372ralbidv 3169 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7467, 73bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7552, 57, 743bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
76 imassrn 6060 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† ran +no
7776, 46sstri 3983 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† On
78 xpss12 5681 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} βŠ† On ∧ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† (On Γ— On))
7942, 77, 78sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† (On Γ— On))
8079, 31sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† dom +no )
81 funimassov 7577 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8224, 80, 81sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8354ralbidv 3169 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8483ralsng 4669 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8541, 84syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
86 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐡 ∈ On)
8786snssd 4804 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐡} βŠ† On)
88 onss 7765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 βŠ† On)
89883ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
9089adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
91 xpss12 5681 . . . . . . . . . 10 (({𝐡} βŠ† On ∧ 𝐢 βŠ† On) β†’ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9287, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9365imaeqalov 7639 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9422, 92, 93sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
95 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏 +no 𝑐) = (𝐡 +no 𝑐))
9695oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)))
9796eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9897ralbidv 3169 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9998ralsng 4669 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10086, 99syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10194, 100bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10282, 85, 1013bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10340, 75, 1023anbi123d 1432 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)))
10421, 103bitrid 283 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯ ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)))
105104rabbidva 3431 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
106105inteqd 4945 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
1079, 106eqtrd 2764 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βˆ© cint 4940   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   β€œ cima 5669  Oncon0 6354  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  (class class class)co 7401   +no cnadd 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-nadd 8661
This theorem is referenced by:  naddass  8691
  Copyright terms: Public domain W3C validator