MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem naddasslem2 8691
Description: Lemma for naddass 8692. Expand out the expression for natural addition of three arguments. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddasslem2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem naddasslem2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ On)
2 naddcl 8673 . . . 4 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
323adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
4 intmin 4972 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž} = 𝐴)
54eqcomd 2739 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž})
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 = ∩ {π‘Ž ∈ On ∣ 𝐴 βŠ† π‘Ž})
7 naddov3 8676 . . . 4 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) = ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† 𝑝})
873adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) = ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† 𝑝})
91, 3, 6, 8naddunif 8689 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯})
10 3anass 1096 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯)))
11 unss 4184 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
12 ancom 462 . . . . . . . 8 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯))
13 xpundi 5743 . . . . . . . . . . 11 ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) = (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))
1413imaeq2i 6056 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = ( +no β€œ (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
15 imaundi 6147 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ (({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βˆͺ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
1614, 15eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) = (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))
1716sseq1i 4010 . . . . . . . 8 (( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
1811, 12, 173bitr4i 303 . . . . . . 7 ((( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯)
1918anbi2i 624 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯)) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯))
20 unss 4184 . . . . . 6 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))))) βŠ† π‘₯) ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯)
2110, 19, 203bitrri 298 . . . . 5 ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯ ↔ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯))
22 naddfn 8671 . . . . . . . . 9 +no Fn (On Γ— On)
23 fnfun 6647 . . . . . . . . 9 ( +no Fn (On Γ— On) β†’ Fun +no )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun +no
25 onss 7769 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 βŠ† On)
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 βŠ† On)
273adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐡 +no 𝐢) ∈ On)
2827snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {(𝐡 +no 𝐢)} βŠ† On)
29 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† On ∧ {(𝐡 +no 𝐢)} βŠ† On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† (On Γ— On))
3026, 28, 29syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† (On Γ— On))
3122fndmi 6651 . . . . . . . . 9 dom +no = (On Γ— On)
3230, 31sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† dom +no )
33 funimassov 7581 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)}) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
3424, 32, 33sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
35 ovex 7439 . . . . . . . . 9 (𝐡 +no 𝐢) ∈ V
36 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝐡 +no 𝐢) β†’ (π‘Ž +no 𝑝) = (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝐡 +no 𝐢) β†’ ((π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
3835, 37ralsn 4685 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯)
3938ralbii 3094 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ {(𝐡 +no 𝐢)} (π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯)
4034, 39bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
41 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ On)
4241snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐴} βŠ† On)
43 imassrn 6069 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† ran +no
44 naddf 8677 . . . . . . . . . . . 12 +no :(On Γ— On)⟢On
45 frn 6722 . . . . . . . . . . . 12 ( +no :(On Γ— On)⟢On β†’ ran +no βŠ† On)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran +no βŠ† On
4743, 46sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† On
48 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} βŠ† On ∧ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})) βŠ† On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† (On Γ— On))
4942, 47, 48sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† (On Γ— On))
5049, 31sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† dom +no )
51 funimassov 7581 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5224, 50, 51sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
53 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž +no 𝑝) = (𝐴 +no 𝑝))
5453eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5554ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5655ralsng 4677 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
5741, 56syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
58 onss 7769 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† On)
59583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐡 βŠ† On)
60 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 ∈ On)
6160snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐢} βŠ† On)
62 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βŠ† On ∧ {𝐢} βŠ† On) β†’ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
6359, 61, 62syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On))
64 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑏 +no 𝑐) β†’ (𝐴 +no 𝑝) = (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑏 +no 𝑐) β†’ ((𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
6665imaeqalov 7643 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ (𝐡 Γ— {𝐢}) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
6722, 63, 66sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
68 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑏 +no 𝑐) = (𝑏 +no 𝐢))
6968oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)))
7069eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7170ralsng 4677 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7260, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7372ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ {𝐢} (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7467, 73bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢}))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
7552, 57, 743bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯))
76 imassrn 6069 . . . . . . . . . . 11 ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† ran +no
7776, 46sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† On
78 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} βŠ† On ∧ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βŠ† On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† (On Γ— On))
7942, 77, 78sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† (On Γ— On))
8079, 31sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† dom +no )
81 funimassov 7581 . . . . . . . 8 ((Fun +no ∧ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))) βŠ† dom +no ) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8224, 80, 81sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8354ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8483ralsng 4677 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
8541, 84syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝐴}βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(π‘Ž +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯))
86 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐡 ∈ On)
8786snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ {𝐡} βŠ† On)
88 onss 7769 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 βŠ† On)
89883ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
9089adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ 𝐢 βŠ† On)
91 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 (({𝐡} βŠ† On ∧ 𝐢 βŠ† On) β†’ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9287, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On))
9365imaeqalov 7643 . . . . . . . . 9 (( +no Fn (On Γ— On) ∧ ({𝐡} Γ— 𝐢) βŠ† (On Γ— On)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9422, 92, 93sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
95 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏 +no 𝑐) = (𝐡 +no 𝑐))
9695oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)))
9796eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9897ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
9998ralsng 4677 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ On β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10086, 99syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝐡}βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝑐)) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10194, 100bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢))(𝐴 +no 𝑝) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10282, 85, 1013bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯))
10340, 75, 1023anbi123d 1437 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))) βŠ† π‘₯ ∧ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— ( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)))) βŠ† π‘₯) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)))
10421, 103bitrid 283 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯ ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)))
105104rabbidva 3440 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
106105inteqd 4955 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (( +no β€œ (𝐴 Γ— {(𝐡 +no 𝐢)})) βˆͺ ( +no β€œ ({𝐴} Γ— (( +no β€œ ({𝐡} Γ— 𝐢)) βˆͺ ( +no β€œ (𝐡 Γ— {𝐢})))))) βŠ† π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
1079, 106eqtrd 2773 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐡 ∈ On ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 +no (𝐡 +no 𝐢)) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (π‘Ž +no (𝐡 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝐴 +no (𝑏 +no 𝐢)) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (𝐴 +no (𝐡 +no 𝑐)) ∈ π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆ© cint 4950   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Oncon0 6362  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  (class class class)co 7406   +no cnadd 8661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-nadd 8662
This theorem is referenced by:  naddass  8692
  Copyright terms: Public domain W3C validator