MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neg11 10627
Description: Negative is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
neg11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem neg11
StepHypRef Expression
1 negeq 10568 . . 3 (-𝐴 = -𝐵 → --𝐴 = --𝐵)
2 negneg 10626 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3 negneg 10626 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → --𝐵 = 𝐵)
42, 3eqeqan12d 2833 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = --𝐵𝐴 = 𝐵))
51, 4syl5ib 235 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
6 negeq 10568 . 2 (𝐴 = 𝐵 → -𝐴 = -𝐵)
75, 6impbid1 216 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cc 10229  -cneg 10562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-ltxr 10374  df-sub 10563  df-neg 10564
This theorem is referenced by:  negcon1  10628  negeq0  10630  neg11i  10657  neg11ad  10683  subeqrev  10748  logreclem  24737
  Copyright terms: Public domain W3C validator