MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neg11 10785
Description: Negative is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
neg11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem neg11
StepHypRef Expression
1 negeq 10725 . . 3 (-𝐴 = -𝐵 → --𝐴 = --𝐵)
2 negneg 10784 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3 negneg 10784 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → --𝐵 = 𝐵)
42, 3eqeqan12d 2811 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = --𝐵𝐴 = 𝐵))
51, 4syl5ib 245 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
6 negeq 10725 . 2 (𝐴 = 𝐵 → -𝐴 = -𝐵)
75, 6impbid1 226 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cc 10381  -cneg 10718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-sub 10719  df-neg 10720
This theorem is referenced by:  negcon1  10786  negeq0  10788  neg11i  10815  neg11ad  10841  subeqrev  10910  logreclem  25021
  Copyright terms: Public domain W3C validator