MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negneg 11409
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negneg (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negneg
StepHypRef Expression
1 df-neg 11346 . . 3 --𝐴 = (0 − -𝐴)
2 0cn 11105 . . . 4 0 ∈ ℂ
3 subneg 11408 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
42, 3mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
51, 4eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = (0 + 𝐴))
6 addid2 11296 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
75, 6eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009   + caddc 11012  cmin 11343  -cneg 11344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-neg 11346
This theorem is referenced by:  neg11  11410  negcon1  11411  negreb  11424  negnegi  11429  negnegd  11461  negf1o  11543  mul2neg  11552  divneg2  11837  negfi  12062  nnnegz  12460  znegclb  12498  expneg2  13930  shftcan2  14928  sqreulem  15203  sqreu  15204  fallrisefac  15867  dvdsnegb  16115  lognegb  25896  logcj  25912  argimgt0  25918  cxpsqrt  26009  eldmgm  26322  supminfxr  43597
  Copyright terms: Public domain W3C validator