Theorem negneg 11632

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11568	. . 3 ⊢ - -𝐴 = (0 − -𝐴)
2		0cn 11322	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subneg 11631	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
5	1, 4	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = (0 + 𝐴))
6		addlid 11517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224   + caddc 11227   − cmin 11565   -cneg 11566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568

This theorem is used by:  neg11  11633  negcon1  11634  negreb  11647  negnegi  11652  negnegd  11684  negf1o  11770  mul2neg  11779  divneg2  12065  negfi  12290  nnnegz  12720  znegclb  12757  expneg2  14237  shftcan2  15263  sqreulem  15553  sqreu  15554  fallrisefac  16218  dvdsnegb  16469  lognegb  26945  logcj  26961  argimgt0  26967  cxpsqrt  27058  eldmgm  27376  supminfxr  46677