Theorem logreclem 26688

Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 26689. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logreclem	⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Proof of Theorem logreclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logrncn 26487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		ellogrn 26484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
5	4	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
6	5	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
7		imcl 15036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8		pire 26382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
9		leneg 11641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
11	7, 8, 10	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	1, 6, 11	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	renegcli 11443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ∈ ℝ)
15	7	renegcld 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	leloed 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
18	1, 12, 17	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴)))
19	18	orcomd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -π < -(ℑ‘𝐴)))
20	19	orcanai 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘𝐴))
21	5	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
22		ltnegcon1 11639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) < π))
23	22	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
24	8, 7, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
25	1, 21, 24	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -(ℑ‘𝐴) < π)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) < π)
27		ltle 11222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
28	15, 8, 27	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
31	26, 30	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ π)
32		imneg 15058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
33	32	breq2d 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
35	32	breq1d 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
37	34, 36	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∧ -(ℑ‘𝐴) ≤ π)))
38	20, 31, 37	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
39		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
41		ellogrn 26484	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ran log ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
42	40, 41	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ran log)
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (¬ -π = -(ℑ‘𝐴) → -𝐴 ∈ ran log))
44	43	orrd 863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log))
45		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
46		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
47	45, 46	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
48	8, 7, 47	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
49	1, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
50		neg11 11433	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ π = (ℑ‘𝐴)))
51		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ (π = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π)
52	50, 51	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
53	49, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
54	53	orbi1d 916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log) ↔ ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log)))
55	44, 54	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log))
56	55	orcanai 1004	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ran crn 5624  ‘cfv 6486  ℂcc 11026  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11366  ℑcim 15023  πcpi 15991  logclog 26479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481

This theorem is referenced by:  logrec  26689