Theorem logreclem 25817

Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 25818. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logreclem	⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Proof of Theorem logreclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logrncn 25623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		ellogrn 25620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
5	4	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
6	5	simp3d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
7		imcl 14750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8		pire 25520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
9		leneg 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
11	7, 8, 10	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	1, 6, 11	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	renegcli 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ∈ ℝ)
15	7	renegcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	leloed 11048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
17	16	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
18	1, 12, 17	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴)))
19	18	orcomd 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -π < -(ℑ‘𝐴)))
20	19	orcanai 999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘𝐴))
21	5	simp2d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
22		ltnegcon1 11406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) < π))
23	22	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
24	8, 7, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
25	1, 21, 24	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -(ℑ‘𝐴) < π)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) < π)
27		ltle 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
28	15, 8, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
31	26, 30	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ π)
32		imneg 14772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
33	32	breq2d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
35	32	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
37	34, 36	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∧ -(ℑ‘𝐴) ≤ π)))
38	20, 31, 37	mpbir2and 709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
39		3anass 1093	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
41		ellogrn 25620	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ran log ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
42	40, 41	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ran log)
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (¬ -π = -(ℑ‘𝐴) → -𝐴 ∈ ran log))
44	43	orrd 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log))
45		recn 10892	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
46		recn 10892	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
47	45, 46	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
48	8, 7, 47	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
49	1, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
50		neg11 11202	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ π = (ℑ‘𝐴)))
51		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ (π = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π)
52	50, 51	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
53	49, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
54	53	orbi1d 913	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log) ↔ ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log)))
55	44, 54	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log))
56	55	orcanai 999	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136  ℑcim 14737  πcpi 15704  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617

This theorem is referenced by:  logrec  25818