Theorem logreclem 27096

Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 27097. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logreclem	⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Proof of Theorem logreclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logrncn 26896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		ellogrn 26893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
5	4	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
6	5	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
7		imcl 15284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8		pire 26789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
9		leneg 11823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
11	7, 8, 10	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	1, 6, 11	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	renegcli 11623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ∈ ℝ)
15	7	renegcld 11747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	leloed 11457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π ≤ -(ℑ‘𝐴) ↔ ( -π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π ≤ -(ℑ‘𝐴) → ( -π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
18	1, 12, 17	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ( -π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴)))
19	18	orcomd 885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ( -π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -π < -(ℑ‘𝐴)))
20	19	orcanai 1018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘𝐴))
21	5	simp2d 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
22		ltnegcon1 11821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → ( -π < (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) < π))
23	22	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → ( -π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
24	8, 7, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
25	1, 21, 24	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -(ℑ‘𝐴) < π)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) < π)
27		ltle 11402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ( -(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
28	15, 8, 27	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
29	1, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ( -(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ( -(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
31	26, 30	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ π)
32		imneg 15306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘ -𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
33	32	breq2d 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π < (ℑ‘ -𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
34	2, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ( -π < (ℑ‘ -𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
35	32	breq1d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘ -𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
36	2, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘ -𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
37	34, 36	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (( -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π) ↔ ( -π < -(ℑ‘𝐴) ∧ -(ℑ‘𝐴) ≤ π)))
38	20, 31, 37	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ( -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π))
39		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π) ↔ ( -𝐴 ∈ ℂ ∧ ( -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ( -𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π))
41		ellogrn 26893	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 ∈ ran log ↔ ( -𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘ -𝐴) ∧ (ℑ‘ -𝐴) ≤ π))
42	40, 41	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ran log)
43	42	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (¬ -π = -(ℑ‘𝐴) → -𝐴 ∈ ran log))
44	43	orrd 877	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ( -π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log))
45		recn 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
46		recn 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
47	45, 46	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
48	8, 7, 47	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
49	1, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
50		neg11 11613	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -π = -(ℑ‘𝐴) ↔ π = (ℑ‘𝐴)))
51		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (π = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π)
52	50, 51	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
53	49, 52	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ( -π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
54	53	orbi1d 930	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (( -π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log) ↔ ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log)))
55	44, 54	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log))
56	55	orcanai 1018	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6539  ℂcc 11202  ℝcr 11203   < clt 11347   ≤ cle 11348   -cneg 11546  ℑcim 15271  πcpi 16238  logclog 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890

This theorem is used by:  logrec  27097