Theorem logreclem 25492

Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 25493. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logreclem	⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Proof of Theorem logreclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logrncn 25298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		ellogrn 25295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
5	4	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
6	5	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
7		imcl 14553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8		pire 25195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
9		leneg 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
11	7, 8, 10	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	1, 6, 11	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	renegcli 11018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ∈ ℝ)
15	7	renegcld 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	leloed 10854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
18	1, 12, 17	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴)))
19	18	orcomd 870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -π < -(ℑ‘𝐴)))
20	19	orcanai 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘𝐴))
21	5	simp2d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
22		ltnegcon1 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) < π))
23	22	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
24	8, 7, 23	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
25	1, 21, 24	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -(ℑ‘𝐴) < π)
26	25	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) < π)
27		ltle 10800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
28	15, 8, 27	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
30	29	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
31	26, 30	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ π)
32		imneg 14575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
33	32	breq2d 5039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
35	32	breq1d 5037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
37	34, 36	anbi12d 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∧ -(ℑ‘𝐴) ≤ π)))
38	20, 31, 37	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
39		3anass 1096	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
41		ellogrn 25295	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ran log ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
42	40, 41	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ran log)
43	42	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (¬ -π = -(ℑ‘𝐴) → -𝐴 ∈ ran log))
44	43	orrd 862	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log))
45		recn 10698	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
46		recn 10698	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
47	45, 46	anim12i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
48	8, 7, 47	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
49	1, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
50		neg11 11008	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ π = (ℑ‘𝐴)))
51		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ (π = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π)
52	50, 51	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
53	49, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
54	53	orbi1d 916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log) ↔ ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log)))
55	44, 54	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log))
56	55	orcanai 1002	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  ran crn 5520  ‘cfv 6333  ℂcc 10606  ℝcr 10607   < clt 10746   ≤ cle 10747  -cneg 10942  ℑcim 14540  πcpi 15505  logclog 25290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292

This theorem is referenced by:  logrec  25493