Theorem negcon1 11346

Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
negcon1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem negcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		neg11 11345	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
4		negneg 11344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → --𝐴 = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = -𝐵))
7	3, 6	bitr3d 280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝐵))
8		eqcom 2744	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴)
9	7, 8	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ℂcc 10942  -cneg 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-ltxr 11087  df-sub 11280  df-neg 11281

This theorem is referenced by:  negcon2  11347  negcon1i  11376  negcon1d  11399  elznn0  12407