Theorem supxrnemnf 33113

Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
supxrnemnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11261	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		supxrcl 13336	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5, 1	jctir 529	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11		nelneq 2887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
12	9, 10, 11	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13		ngtmnft 13187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
14	13	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥 → 𝑥 = -∞))
15	14	con1d 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
16	8, 12, 15	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
17	16	reximdva0 4310	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
18	17	3impa 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
19	18	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
20		supxrlub 13346	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥))
21	20	biimprd 251	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
22	6, 19, 21	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23		xrltne 13183	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  supcsup 9396  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by: (None)