Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrnemnf 30842
Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
supxrnemnf ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10919 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 supxrcl 12934 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1135 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 simp1 1138 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
65, 1jctir 524 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
87sselda 3917 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11 nelneq 2864 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
129, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13 ngtmnft 12785 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
1413biimprd 251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥𝑥 = -∞))
1514con1d 147 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
168, 12, 15sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
1716reximdva0 4282 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
18173impa 1112 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
19183com23 1128 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
20 supxrlub 12944 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥))
2120biimprd 251 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
226, 19, 21sylc 65 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23 xrltne 12782 . 2 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
242, 4, 22, 23syl3anc 1373 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wrex 3065  wss 3883  c0 4253   class class class wbr 5069  supcsup 9085  -∞cmnf 10894  *cxr 10895   < clt 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4836  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-po 5485  df-so 5486  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-sup 9087  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator