Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrnemnf 30245
Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
supxrnemnf ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10498 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 supxrcl 12524 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1113 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 simp1 1116 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
65, 1jctir 513 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
87sselda 3859 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 756 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11 nelneq 2891 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
129, 10, 11syl2anc 576 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13 ngtmnft 12376 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
1413biimprd 240 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥𝑥 = -∞))
1514con1d 142 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
168, 12, 15sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
1716reximdva0 4199 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
18173impa 1090 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
19183com23 1106 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
20 supxrlub 12534 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥))
2120biimprd 240 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
226, 19, 21sylc 65 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23 xrltne 12373 . 2 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
242, 4, 22, 23syl3anc 1351 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090  wss 3830  c0 4179   class class class wbr 4929  supcsup 8699  -∞cmnf 10472  *cxr 10473   < clt 10474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator