Theorem supxrnemnf 32772

Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
supxrnemnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11318	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		supxrcl 13357	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5, 1	jctir 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11		nelneq 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13		ngtmnft 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
14	13	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥 → 𝑥 = -∞))
15	14	con1d 145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
16	8, 12, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
17	16	reximdva0 4355	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
18	17	3impa 1110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
19	18	3com23 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
20		supxrlub 13367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥))
21	20	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
22	6, 19, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23		xrltne 13205	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  supcsup 9480  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by: (None)