Theorem supxrnemnf 32856

Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
supxrnemnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11193	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		supxrcl 13258	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5, 1	jctir 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11		nelneq 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13		ngtmnft 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
14	13	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥 → 𝑥 = -∞))
15	14	con1d 145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
16	8, 12, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
17	16	reximdva0 4296	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
18	17	3impa 1110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
19	18	3com23 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
20		supxrlub 13268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥))
21	20	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
22	6, 19, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23		xrltne 13105	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  supcsup 9346  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by: (None)