Theorem supxrnemnf 32779

Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
supxrnemnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11316	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		supxrcl 13354	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5, 1	jctir 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11		nelneq 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13		ngtmnft 13205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
14	13	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥 → 𝑥 = -∞))
15	14	con1d 145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
16	8, 12, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
17	16	reximdva0 4361	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
18	17	3impa 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
19	18	3com23 1125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥)
20		supxrlub 13364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥))
21	20	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
22	6, 19, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23		xrltne 13202	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  supcsup 9478  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by: (None)