Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrnemnf 30503
Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
supxrnemnf ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10687 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 supxrcl 12696 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
65, 1jctir 524 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
87sselda 3942 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11 nelneq 2938 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
129, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13 ngtmnft 12547 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
1413biimprd 251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥𝑥 = -∞))
1514con1d 147 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
168, 12, 15sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
1716reximdva0 4284 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
18173impa 1107 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
19183com23 1123 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
20 supxrlub 12706 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥))
2120biimprd 251 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
226, 19, 21sylc 65 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23 xrltne 12544 . 2 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
242, 4, 22, 23syl3anc 1368 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  wss 3908  c0 4265   class class class wbr 5042  supcsup 8892  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator