MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xblpnf 23893
Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xblpnf ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11264 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elbl 23885 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
31, 2mp3an3 1450 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4 xmetcl 23828 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5 xmetge0 23841 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝐴))
6 ge0nemnf 13148 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝐴)) β†’ (𝑃𝐷𝐴) β‰  -∞)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝐴) β‰  -∞)
8 ngtmnft 13141 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* β†’ ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ Β¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
94, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ Β¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
109necon2abid 2983 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) β‰  -∞))
117, 10mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
1211biantrurd 533 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13 xrrebnd 13143 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* β†’ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
144, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
1512, 14bitr4d 281 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16153expa 1118 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
1716pm5.32da 579 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
183, 17bitrd 278 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  βˆžMetcxmet 20921  ballcbl 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931
This theorem is referenced by:  blpnf  23894  xmetec  23931  metdstri  24358
  Copyright terms: Public domain W3C validator