MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xblpnf 22998
Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xblpnf ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10687 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elbl 22990 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
31, 2mp3an3 1443 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4 xmetcl 22933 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5 xmetge0 22946 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴))
6 ge0nemnf 12558 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴)) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
74, 5, 6syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
8 ngtmnft 12551 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
94, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
109necon2abid 3056 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞))
117, 10mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
1211biantrurd 535 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13 xrrebnd 12553 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
144, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
1512, 14bitr4d 284 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16153expa 1112 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
1716pm5.32da 581 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
183, 17bitrd 281 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  ∞Metcxmet 20522  ballcbl 20524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532
This theorem is referenced by:  blpnf  22999  xmetec  23036  metdstri  23451
  Copyright terms: Public domain W3C validator