Theorem xblpnf 24311

Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xblpnf	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11166	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elbl 24303	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
3	1, 2	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4		xmetcl 24246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5		xmetge0 24259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴))
6		ge0nemnf 13072	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴)) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
8		ngtmnft 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
10	9	necon2abid 2970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
12	11	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13		xrrebnd 13067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
15	12, 14	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16	15	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
17	16	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
18	3, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  ∞Metcxmet 21276  ballcbl 21278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-2 12188  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-bl 21286

This theorem is referenced by:  blpnf  24312  xmetec  24349  metdstri  24767