Theorem infxrbnd2 45819

Description: The infimum of a bounded-below set of extended reals is greater than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrbnd2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
2		ssel2 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3		rexr 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	4, 5	xrltnled 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
7	2, 3, 6	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
8	7	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidva 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
10		rexnal 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
11	9, 10	bitr2di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
13	1, 12	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
14		infxrunb2 45818	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
15		infxrcl 13280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
16		ngtmnft 13112	. . . 4 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
18	13, 14, 17	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	con4bid 317	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  infcinf 9348  ℝcr 11031  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by:  infleinf  45822