Theorem infxrbnd2 46199

Description: The infimum of a bounded-below set of extended reals is greater than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrbnd2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
2		ssel2 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3		rexr 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	4, 5	xrltnled 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
7	2, 3, 6	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
8	7	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
10		rexnal 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
11	9, 10	bitr2di 291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
13	1, 12	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
14		infxrunb2 46198	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
15		infxrcl 13387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
16		ngtmnft 13219	. . . 4 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
18	13, 14, 17	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	con4bid 320	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  infcinf 9412  ℝcr 11124  -∞cmnf 11266  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  infleinf  46202