Theorem infxrbnd2 45975

Description: The infimum of a bounded-below set of extended reals is greater than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrbnd2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3097	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
2		ssel2 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3		rexr 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	4, 5	xrltnled 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
7	2, 3, 6	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
8	7	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidva 3193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦))
10		rexnal 3123	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
11	9, 10	bitr2di 291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3192	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
13	1, 12	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
14		infxrunb2 45974	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
15		infxrcl 13359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
16		ngtmnft 13191	. . . 4 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
18	13, 14, 17	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	con4bid 320	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  infcinf 9400  ℝcr 11098  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  infleinf  45978