Theorem nnaword1 8603

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nna0 8578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		peano1 7873	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
5		nnaword 8601	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3974	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  (class class class)co 7400  ωcom 7850   +_o coa 8438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-oadd 8445

This theorem is referenced by:  nnaword2  8604  nnmordi  8605  nnawordex  8611  omopthlem2  8634  eldifsucnn  8638  unfilem1  9253  ttrcltr  9673  ackbij1lem12  10201