Theorem nnaword1 8593

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nna0 8568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4363	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		peano1 7865	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
5		nnaword 8591	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3982	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  (class class class)co 7387  ωcom 7842   +_o coa 8431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-oadd 8438

This theorem is referenced by:  nnaword2  8594  nnmordi  8595  nnawordex  8601  omopthlem2  8624  eldifsucnn  8628  unfilem1  9254  ttrcltr  9669  ackbij1lem12  10183