Theorem nna0 8332

Description: Addition with zero. Theorem 4I(A1) of [Enderton] p. 79. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nna0	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem nna0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7650	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oa0 8243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∅c0 4237  Oncon0 6213  (class class class)co 7213  ωcom 7644   +_o coa 8199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-oadd 8206

This theorem is referenced by:  nnacl  8339  nnacom  8345  nnaass  8350  nndi  8351  nnmsucr  8353  nnaword1  8357  nnmordi  8359  nnawordex  8365  nnaordex  8366  nnadju  9811  ackbij1lem13  9846  addnidpi  10515  1lt2pi  10519  hashgadd  13944