Theorem oe2 44311

Description: Two ways to square an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oe2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Proof of Theorem oe2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8463	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ↑o 2o) = (𝐴 ↑o suc 1o)
3		1on 8475	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		oesuc 8521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
6		oe1 8538	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = (𝐴 ·o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Oncon0 6359  suc csuc 6361  (class class class)co 7416  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ·_o comu 8460   ↑_o coe 8461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468

This theorem is used by:  omltoe  44312