Theorem oe2 44210

Description: Two ways to square an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oe2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Proof of Theorem oe2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8461	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (𝐴 ↑o 2o) = (𝐴 ↑o suc 1o)
3		1on 8473	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		oesuc 8519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
6		oe1 8536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = (𝐴 ·o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2813	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Oncon0 6365  suc csuc 6367  (class class class)co 7420  1_oc1o 8453  2_oc2o 8454   ·_o comu 8458   ↑_o coe 8459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-oexp 8466

This theorem is used by:  omltoe  44211