Theorem oe2 43383

Description: Two ways to square an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oe2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Proof of Theorem oe2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8389	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7360	. 2 ⊢ (𝐴 ↑o 2o) = (𝐴 ↑o suc 1o)
3		1on 8400	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		oesuc 8445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
6		oe1 8462	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = (𝐴 ·o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Oncon0 6307  suc csuc 6309  (class class class)co 7349  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382   ·_o comu 8386   ↑_o coe 8387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-oexp 8394

This theorem is referenced by:  omltoe  43384