Theorem oe2 43377

Description: Two ways to square an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oe2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Proof of Theorem oe2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8479	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7414	. 2 ⊢ (𝐴 ↑o 2o) = (𝐴 ↑o suc 1o)
3		1on 8490	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		oesuc 8537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴))
6		oe1 8554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o 1o) ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 1o) = (𝐴 ·o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2783	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ↑o 2o))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Oncon0 6352  suc csuc 6354  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471  2_oc2o 8472   ·_o comu 8476   ↑_o coe 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-oexp 8484

This theorem is referenced by:  omltoe  43378