Theorem oe1 8556

Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. Lemma 2.16 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem oe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8480	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑o 1o) = (𝐴 ↑o suc ∅)
3		peano1 7884	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onesuc 8542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
7		oe0 8534	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
8	7	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴) = (1o ·o 𝐴))
9		om1r 8555	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  Oncon0 6352  suc csuc 6354  (class class class)co 7405  ωcom 7861  1_oc1o 8473   ·_o comu 8478   ↑_o coe 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-oexp 8486

This theorem is referenced by:  omabs  8663  cnfcom3lem  9717  infxpenc2  10036  oege1  43330  oaomoencom  43341  oenassex  43342  omabs2  43356  oe2  43430