Theorem oe1 8181

Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem oe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8113	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7162	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑o 1o) = (𝐴 ↑o suc ∅)
3		peano1 7601	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onesuc 8166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
6	2, 5	syl5eq 2806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
7		oe0 8158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
8	7	oveq1d 7166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴) = (1o ·o 𝐴))
9		om1r 8180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∅c0 4226  Oncon0 6170  suc csuc 6172  (class class class)co 7151  ωcom 7580  1_oc1o 8106   ·_o comu 8111   ↑_o coe 8112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5299  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-oexp 8119

This theorem is referenced by:  omabs  8285  cnfcom3lem  9192  infxpenc2  9475