MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1 8571
Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. Lemma 2.16 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem oe1
StepHypRef Expression
1 df-1o 8493 . . . 4 1o = suc ∅
21oveq2i 7437 . . 3 (𝐴o 1o) = (𝐴o suc ∅)
3 peano1 7900 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onesuc 8557 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴o suc ∅) = ((𝐴o ∅) ·o 𝐴))
53, 4mpan2 689 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴o suc ∅) = ((𝐴o ∅) ·o 𝐴))
62, 5eqtrid 2780 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = ((𝐴o ∅) ·o 𝐴))
7 oe0 8549 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴o ∅) = 1o)
87oveq1d 7441 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝐴o ∅) ·o 𝐴) = (1o ·o 𝐴))
9 om1r 8570 . 2 (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
106, 8, 93eqtrd 2772 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4326  Oncon0 6374  suc csuc 6376  (class class class)co 7426  ωcom 7876  1oc1o 8486   ·o comu 8491  o coe 8492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-oexp 8499
This theorem is referenced by:  omabs  8678  cnfcom3lem  9734  infxpenc2  10053  oege1  42766  oaomoencom  42777  oenassex  42778  omabs2  42792  oe2  42867
  Copyright terms: Public domain W3C validator