Theorem oe1 8571

Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. Lemma 2.16 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem oe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8493	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑o 1o) = (𝐴 ↑o suc ∅)
3		peano1 7900	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onesuc 8557	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc ∅) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴))
7		oe0 8549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
8	7	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ↑o ∅) ·o 𝐴) = (1o ·o 𝐴))
9		om1r 8570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4326  Oncon0 6374  suc csuc 6376  (class class class)co 7426  ωcom 7876  1_oc1o 8486   ·_o comu 8491   ↑_o coe 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-oexp 8499

This theorem is referenced by:  omabs  8678  cnfcom3lem  9734  infxpenc2  10053  oege1  42766  oaomoencom  42777  oenassex  42778  omabs2  42792  oe2  42867