Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 40772
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l = (le‘𝐾)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2tendo02 40770 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
43adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
54fveq2d 6911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6 eqid 2735 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 6, 7, 8trlid0 40159 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
109adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
115, 10eqtrd 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (0.‘𝐾))
12 hlop 39344 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
152, 7, 14, 8trlcl 40147 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
16 tendo0tp.l . . . 4 = (le‘𝐾)
172, 16, 6op0le 39168 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1813, 15, 17syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1911, 18eqbrtrd 5170 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  0.cp0 18481  OPcops 39154  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator