Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 40256
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l = (le‘𝐾)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2tendo02 40254 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
43adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
54fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6 eqid 2728 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 6, 7, 8trlid0 39643 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
109adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
115, 10eqtrd 2768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (0.‘𝐾))
12 hlop 38828 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
152, 7, 14, 8trlcl 39631 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
16 tendo0tp.l . . . 4 = (le‘𝐾)
172, 16, 6op0le 38652 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1813, 15, 17syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1911, 18eqbrtrd 5164 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cmpt 5225   I cid 5569  cres 5674  cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  0.cp0 18408  OPcops 38638  HLchlt 38816  LHypclh 39451  LTrncltrn 39568  trLctrl 39625  TEndoctendo 40219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8840  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40257
  Copyright terms: Public domain W3C validator