Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 40173
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendo0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
tendo0tp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
31, 2tendo02 40171 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
43adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
54fveq2d 6889 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
6 eqid 2726 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
92, 6, 7, 8trlid0 39560 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
109adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
115, 10eqtrd 2766 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) = (0.β€˜πΎ))
12 hlop 38745 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 723 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
152, 7, 14, 8trlcl 39548 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
16 tendo0tp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
172, 16, 6op0le 38569 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
1813, 15, 17syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
1911, 18eqbrtrd 5163 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  0.cp0 18388  OPcops 38555  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40174
  Copyright terms: Public domain W3C validator