Theorem tendo0tp 38730

Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendo0tp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendo0tp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendo0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2		tendo0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3	1, 2	tendo02 38728	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		tendo0tp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 7, 8	trlid0 38117	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
11	5, 10	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (0.‘𝐾))
12		hlop 37303	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
13	12	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14		tendo0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15	2, 7, 14, 8	trlcl 38105	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
16		tendo0tp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17	2, 16, 6	op0le 37127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
18	13, 15, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
19	11, 18	eqbrtrd 5092	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  0.cp0 18056  OPcops 37113  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099  TEndoctendo 38693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  tendo0cl  38731