Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 38085
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l = (le‘𝐾)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2tendo02 38083 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
43adantl 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
54fveq2d 6649 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6 eqid 2798 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 6, 7, 8trlid0 37472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
109adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
115, 10eqtrd 2833 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (0.‘𝐾))
12 hlop 36658 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
152, 7, 14, 8trlcl 37460 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
16 tendo0tp.l . . . 4 = (le‘𝐾)
172, 16, 6op0le 36482 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1813, 15, 17syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1911, 18eqbrtrd 5052 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cmpt 5110   I cid 5424  cres 5521  cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  0.cp0 17639  OPcops 36468  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  trLctrl 37454  TEndoctendo 38048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455
This theorem is referenced by:  tendo0cl  38086
  Copyright terms: Public domain W3C validator