Theorem tendo0tp 41922

Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendo0tp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendo0tp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendo0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2		tendo0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3	1, 2	tendo02 41920	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		tendo0tp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 7, 8	trlid0 41309	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
11	5, 10	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (0.‘𝐾))
12		hlop 40495	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
13	12	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14		tendo0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15	2, 7, 14, 8	trlcl 41297	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
16		tendo0tp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17	2, 16, 6	op0le 40319	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
18	13, 15, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
19	11, 18	eqbrtrd 5126	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  lecple 17436  0.cp0 18596  OPcops 40305  HLchlt 40483  LHypclh 41117  LTrncltrn 41234  trLctrl 41291  TEndoctendo 41885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8850  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-join 18521  df-meet 18522  df-p0 18598  df-p1 18599  df-lat 18607  df-clat 18674  df-oposet 40309  df-ol 40311  df-oml 40312  df-covers 40399  df-ats 40400  df-atl 40431  df-cvlat 40455  df-hlat 40484  df-lhyp 41121  df-laut 41122  df-ldil 41237  df-ltrn 41238  df-trl 41292

This theorem is used by:  tendo0cl  41923