Theorem tendo0tp 41452

Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendo0tp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendo0tp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendo0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2		tendo0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3	1, 2	tendo02 41450	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		tendo0tp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 7, 8	trlid0 40839	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
11	5, 10	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) = (0.‘𝐾))
12		hlop 40025	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
13	12	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14		tendo0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15	2, 7, 14, 8	trlcl 40827	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
16		tendo0tp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17	2, 16, 6	op0le 39849	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
18	13, 15, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (0.‘𝐾) ≤ (𝑅‘𝐹))
19	11, 18	eqbrtrd 5137	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑂‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  lecple 17316  0.cp0 18476  OPcops 39835  HLchlt 40013  LHypclh 40647  LTrncltrn 40764  trLctrl 40821  TEndoctendo 41415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-lhyp 40651  df-laut 40652  df-ldil 40767  df-ltrn 40768  df-trl 40822

This theorem is referenced by:  tendo0cl  41453