Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 40302
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendo0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
tendo0tp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
31, 2tendo02 40300 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
43adantl 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
54fveq2d 6906 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
6 eqid 2728 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
92, 6, 7, 8trlid0 39689 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
109adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
115, 10eqtrd 2768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) = (0.β€˜πΎ))
12 hlop 38874 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
152, 7, 14, 8trlcl 39677 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
16 tendo0tp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
172, 16, 6op0le 38698 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
1813, 15, 17syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
1911, 18eqbrtrd 5174 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‚β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  lecple 17249  0.cp0 18424  OPcops 38684  HLchlt 38862  LHypclh 39497  LTrncltrn 39614  trLctrl 39671  TEndoctendo 40265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40303
  Copyright terms: Public domain W3C validator