Theorem dih0 41279

Description: The value of isomorphism H at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dih0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlop 39360	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		dih0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39182	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8		dih0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	4, 8	lhpbase 39997	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	op0le 39184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		dih0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 10, 8, 13, 14	dihvalb 41236	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
16	1, 7, 12, 15	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
17		dih0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		dih0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
19	5, 8, 14, 17, 18	dib0 41163	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {𝑂})
20	16, 19	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  lecple 17187  0_gc0g 17362  0.cp0 18346  OPcops 39170  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  DIsoBcdib 41137  DIsoHcdih 41227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lvec 21026  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dih 41228

This theorem is referenced by:  dih0bN  41280  dih0vbN  41281  dih0cnv  41282  dih0rn  41283  dihmeetlem4preN  41305  dihmeetlem18N  41323  dihlspsnssN  41331  dihlspsnat  41332  dihatexv  41337  doch1  41358  dochnoncon  41390