Theorem dih0 41865

Description: The value of isomorphism H at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dih0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlop 39947	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		dih0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39769	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8		dih0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	4, 8	lhpbase 40583	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	op0le 39771	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		dih0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 10, 8, 13, 14	dihvalb 41822	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
16	1, 7, 12, 15	syl12anc 847	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
17		dih0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		dih0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
19	5, 8, 14, 17, 18	dib0 41749	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {𝑂})
20	16, 19	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4579   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  lecple 17284  0_gc0g 17459  0.cp0 18444  OPcops 39757  HLchlt 39935  LHypclh 40569  DVecHcdvh 41663  DIsoBcdib 41723  DIsoHcdih 41813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-riotaBAD 39538

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-undef 8247  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-0g 17461  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-p1 18447  df-lat 18455  df-clat 18522  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-drng 20768  df-lmod 20917  df-lvec 21158  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-llines 40083  df-lplanes 40084  df-lvols 40085  df-lines 40086  df-psubsp 40088  df-pmap 40089  df-padd 40381  df-lhyp 40573  df-laut 40574  df-ldil 40689  df-ltrn 40690  df-trl 40744  df-tendo 41340  df-edring 41342  df-disoa 41614  df-dvech 41664  df-dib 41724  df-dih 41814

This theorem is referenced by:  dih0bN  41866  dih0vbN  41867  dih0cnv  41868  dih0rn  41869  dihmeetlem4preN  41891  dihmeetlem18N  41909  dihlspsnssN  41917  dihlspsnat  41918  dihatexv  41923  doch1  41944  dochnoncon  41976