Theorem dih0 37809

Description: The value of isomorphism H at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dih0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlop 35891	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3	2	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		dih0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 35713	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8		dih0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	4, 8	lhpbase 36527	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	op0le 35715	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 586	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		dih0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 10, 8, 13, 14	dihvalb 37766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
16	1, 7, 12, 15	syl12anc 824	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
17		dih0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		dih0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
19	5, 8, 14, 17, 18	dib0 37693	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {𝑂})
20	16, 19	eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {csn 4435   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  Basecbs 16329  lecple 16418  0_gc0g 16559  0.cp0 17495  OPcops 35701  HLchlt 35879  LHypclh 36513  DVecHcdvh 37607  DIsoBcdib 37667  DIsoHcdih 37757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-riotaBAD 35482

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-undef 7735  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-drng 19217  df-lmod 19348  df-lvec 19587  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-tendo 37284  df-edring 37286  df-disoa 37558  df-dvech 37608  df-dib 37668  df-dih 37758

This theorem is referenced by:  dih0bN  37810  dih0vbN  37811  dih0cnv  37812  dih0rn  37813  dihmeetlem4preN  37835  dihmeetlem18N  37853  dihlspsnssN  37861  dihlspsnat  37862  dihatexv  37867  doch1  37888  dochnoncon  37920