Theorem dih0 40654

Description: The value of isomorphism H at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dih0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dih0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlop 38735	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		dih0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 38557	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8		dih0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	4, 8	lhpbase 39372	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	op0le 38559	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		dih0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 10, 8, 13, 14	dihvalb 40611	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
16	1, 7, 12, 15	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ))
17		dih0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		dih0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
19	5, 8, 14, 17, 18	dib0 40538	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {𝑂})
20	16, 19	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  Basecbs 17149  lecple 17209  0_gc0g 17390  0.cp0 18384  OPcops 38545  HLchlt 38723  LHypclh 39358  DVecHcdvh 40452  DIsoBcdib 40512  DIsoHcdih 40602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-disoa 40403  df-dvech 40453  df-dib 40513  df-dih 40603

This theorem is referenced by:  dih0bN  40655  dih0vbN  40656  dih0cnv  40657  dih0rn  40658  dihmeetlem4preN  40680  dihmeetlem18N  40698  dihlspsnssN  40706  dihlspsnat  40707  dihatexv  40712  doch1  40733  dochnoncon  40765