Theorem opncld 23190

Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 23064	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	2	isopn2 23189	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
5	3, 4	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Topctop 23050  Clsdccld 23173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-top 23051  df-cld 23176

This theorem is referenced by:  iincld  23196  iuncld  23202  clsval2  23207  cmntrcld  23220  elcls  23230  opncldf1  23241  opncldf2  23242  restcld  23329  iscncl  23426  pnrmopn  23500  isnrm2  23515  isnrm3  23516  isreg2  23534  hauscmplem  23563  conndisj  23573  hausllycmp  23651  1stckgen  23711  txkgen  23809  qtoprest  23874  qtopcmap  23876  icopnfcld  24924  lebnumlem1  25120  bcth3  25490  sxbrsigalem3  34662  pconnconn  35723  cvmscld  35765  cldbnd  36837  mblfinlem3  38310  mblfinlem4  38311  opncldeqv  49680  seposep  49704