MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opncld 23042
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opncld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 iscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32eltopss 22914 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
42isopn2 23041 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
53, 4syldan 591 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
61, 5mpbid 232 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  wss 3950   cuni 4906  cfv 6560  Topctop 22900  Clsdccld 23025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-top 22901  df-cld 23028
This theorem is referenced by:  iincld  23048  iuncld  23054  clsval2  23059  cmntrcld  23072  elcls  23082  opncldf1  23093  opncldf2  23094  restcld  23181  iscncl  23278  pnrmopn  23352  isnrm2  23367  isnrm3  23368  isreg2  23386  hauscmplem  23415  conndisj  23425  hausllycmp  23503  1stckgen  23563  txkgen  23661  qtoprest  23726  qtopcmap  23728  icopnfcld  24789  lebnumlem1  24994  bcth3  25366  sxbrsigalem3  34275  pconnconn  35237  cvmscld  35279  cldbnd  36328  mblfinlem3  37667  mblfinlem4  37668  opncldeqv  48806  seposep  48830
  Copyright terms: Public domain W3C validator