MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opncld 22950
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opncld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 iscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32eltopss 22822 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
42isopn2 22949 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
53, 4syldan 590 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
61, 5mpbid 231 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  wss 3947   cuni 4908  cfv 6548  Topctop 22808  Clsdccld 22933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-top 22809  df-cld 22936
This theorem is referenced by:  iincld  22956  iuncld  22962  clsval2  22967  cmntrcld  22980  elcls  22990  opncldf1  23001  opncldf2  23002  restcld  23089  iscncl  23186  pnrmopn  23260  isnrm2  23275  isnrm3  23276  isreg2  23294  hauscmplem  23323  conndisj  23333  hausllycmp  23411  1stckgen  23471  txkgen  23569  qtoprest  23634  qtopcmap  23636  icopnfcld  24697  lebnumlem1  24900  bcth3  25272  sxbrsigalem3  33892  pconnconn  34841  cvmscld  34883  cldbnd  35810  mblfinlem3  37132  mblfinlem4  37133  opncldeqv  47920  seposep  47944
  Copyright terms: Public domain W3C validator