Theorem opncld 22918

Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 22792	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	2	isopn2 22917	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
5	3, 4	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  Topctop 22778  Clsdccld 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-top 22779  df-cld 22904

This theorem is referenced by:  iincld  22924  iuncld  22930  clsval2  22935  cmntrcld  22948  elcls  22958  opncldf1  22969  opncldf2  22970  restcld  23057  iscncl  23154  pnrmopn  23228  isnrm2  23243  isnrm3  23244  isreg2  23262  hauscmplem  23291  conndisj  23301  hausllycmp  23379  1stckgen  23439  txkgen  23537  qtoprest  23602  qtopcmap  23604  icopnfcld  24653  lebnumlem1  24858  bcth3  25229  sxbrsigalem3  34240  pconnconn  35204  cvmscld  35246  cldbnd  36300  mblfinlem3  37639  mblfinlem4  37640  opncldeqv  48886  seposep  48910