Theorem opncld 22888

Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 22760	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	2	isopn2 22887	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
5	3, 4	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  ‘cfv 6536  Topctop 22746  Clsdccld 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-top 22747  df-cld 22874

This theorem is referenced by:  iincld  22894  iuncld  22900  clsval2  22905  cmntrcld  22918  elcls  22928  opncldf1  22939  opncldf2  22940  restcld  23027  iscncl  23124  pnrmopn  23198  isnrm2  23213  isnrm3  23214  isreg2  23232  hauscmplem  23261  conndisj  23271  hausllycmp  23349  1stckgen  23409  txkgen  23507  qtoprest  23572  qtopcmap  23574  icopnfcld  24635  lebnumlem1  24838  bcth3  25210  sxbrsigalem3  33801  pconnconn  34750  cvmscld  34792  cldbnd  35719  mblfinlem3  37038  mblfinlem4  37039  opncldeqv  47789  seposep  47813