Theorem opncld 23057

Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 22929	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	2	isopn2 23056	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
5	3, 4	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Topctop 22915  Clsdccld 23040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-cld 23043

This theorem is referenced by:  iincld  23063  iuncld  23069  clsval2  23074  cmntrcld  23087  elcls  23097  opncldf1  23108  opncldf2  23109  restcld  23196  iscncl  23293  pnrmopn  23367  isnrm2  23382  isnrm3  23383  isreg2  23401  hauscmplem  23430  conndisj  23440  hausllycmp  23518  1stckgen  23578  txkgen  23676  qtoprest  23741  qtopcmap  23743  icopnfcld  24804  lebnumlem1  25007  bcth3  25379  sxbrsigalem3  34254  pconnconn  35216  cvmscld  35258  cldbnd  36309  mblfinlem3  37646  mblfinlem4  37647  opncldeqv  48698  seposep  48722