Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | haustop 22698 |
. . 3
β’ (π½ β Haus β π½ β Top) |
2 | 1 | adantr 482 |
. 2
β’ ((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β π½ β Top) |
3 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’ βͺ π½ =
βͺ π½ |
4 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’ {π§ β π½ β£ βπ£ β π½ (π¦ β π£ β§ ((clsβπ½)βπ£) β (βͺ π½ β π§))} = {π§ β π½ β£ βπ£ β π½ (π¦ β π£ β§ ((clsβπ½)βπ£) β (βͺ π½ β π§))} |
5 | | simpll 766 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π½ β Haus) |
6 | | difssd 4093 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (βͺ π½ β π₯) β βͺ π½) |
7 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π½ β Comp) |
8 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π½ β Top) |
9 | | simprl 770 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π₯ β π½) |
10 | 3 | opncld 22400 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π₯ β π½) β (βͺ π½ β π₯) β (Clsdβπ½)) |
11 | 8, 9, 10 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (βͺ π½ β π₯) β (Clsdβπ½)) |
12 | | cmpcld 22769 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Comp β§ (βͺ π½
β π₯) β
(Clsdβπ½)) β
(π½ βΎt
(βͺ π½ β π₯)) β Comp) |
13 | 7, 11, 12 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (π½ βΎt (βͺ π½
β π₯)) β
Comp) |
14 | | simprr 772 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π¦ β π₯) |
15 | | elssuni 4899 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ β π½ β π₯ β βͺ π½) |
16 | 15 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π₯ β βͺ π½) |
17 | | dfss4 4219 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ β βͺ π½
β (βͺ π½ β (βͺ π½ β π₯)) = π₯) |
18 | 16, 17 | sylib 217 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯)) = π₯) |
19 | 14, 18 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β π¦ β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯))) |
20 | 3, 4, 5, 6, 13, 19 | hauscmplem 22773 |
. . . . 5
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β βπ’ β π½ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯)))) |
21 | 18 | sseq2d 3977 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (((clsβπ½)βπ’) β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯)) β
((clsβπ½)βπ’) β π₯)) |
22 | 21 | anbi2d 630 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β ((π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯))) β (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) |
23 | 22 | rexbidv 3172 |
. . . . 5
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β (βπ’ β π½ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β (βͺ π½ β (βͺ π½
β π₯))) β
βπ’ β π½ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) |
24 | 20, 23 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β βπ’ β π½ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯)) |
25 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π½ β Top) |
26 | | simprl 770 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π’ β π½) |
27 | | simprrl 780 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π¦ β π’) |
28 | | opnneip 22486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π’ β π½ β§ π¦ β π’) β π’ β ((neiβπ½)β{π¦})) |
29 | 25, 26, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π’ β ((neiβπ½)β{π¦})) |
30 | | elssuni 4899 |
. . . . . . . . 9
β’ (π’ β π½ β π’ β βͺ π½) |
31 | 30 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π’ β βͺ π½) |
32 | 3 | sscls 22423 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π’ β βͺ π½)
β π’ β
((clsβπ½)βπ’)) |
33 | 25, 31, 32 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π’ β ((clsβπ½)βπ’)) |
34 | 3 | clsss3 22426 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π’ β βͺ π½)
β ((clsβπ½)βπ’) β βͺ π½) |
35 | 25, 31, 34 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β βͺ π½) |
36 | 3 | ssnei2 22483 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β Top β§ π’ β ((neiβπ½)β{π¦})) β§ (π’ β ((clsβπ½)βπ’) β§ ((clsβπ½)βπ’) β βͺ π½)) β ((clsβπ½)βπ’) β ((neiβπ½)β{π¦})) |
37 | 25, 29, 33, 35, 36 | syl22anc 838 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β ((neiβπ½)β{π¦})) |
38 | | simprrr 781 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β π₯) |
39 | | vex 3448 |
. . . . . . . 8
β’ π₯ β V |
40 | 39 | elpw2 5303 |
. . . . . . 7
β’
(((clsβπ½)βπ’) β π« π₯ β ((clsβπ½)βπ’) β π₯) |
41 | 38, 40 | sylibr 233 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β π« π₯) |
42 | 37, 41 | elind 4155 |
. . . . 5
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)) |
43 | 7 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β π½ β Comp) |
44 | 3 | clscld 22414 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Top β§ π’ β βͺ π½)
β ((clsβπ½)βπ’) β (Clsdβπ½)) |
45 | 25, 31, 44 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β ((clsβπ½)βπ’) β (Clsdβπ½)) |
46 | | cmpcld 22769 |
. . . . . 6
β’ ((π½ β Comp β§
((clsβπ½)βπ’) β (Clsdβπ½)) β (π½ βΎt ((clsβπ½)βπ’)) β Comp) |
47 | 43, 45, 46 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β (π½ βΎt ((clsβπ½)βπ’)) β Comp) |
48 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
β’ (π£ = ((clsβπ½)βπ’) β (π½ βΎt π£) = (π½ βΎt ((clsβπ½)βπ’))) |
49 | 48 | eleq1d 2819 |
. . . . . 6
β’ (π£ = ((clsβπ½)βπ’) β ((π½ βΎt π£) β Comp β (π½ βΎt ((clsβπ½)βπ’)) β Comp)) |
50 | 49 | rspcev 3580 |
. . . . 5
β’
((((clsβπ½)βπ’) β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯) β§ (π½ βΎt ((clsβπ½)βπ’)) β Comp) β βπ£ β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)(π½ βΎt π£) β Comp) |
51 | 42, 47, 50 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β§ (π’ β π½ β§ (π¦ β π’ β§ ((clsβπ½)βπ’) β π₯))) β βπ£ β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)(π½ βΎt π£) β Comp) |
52 | 24, 51 | rexlimddv 3155 |
. . 3
β’ (((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β§ (π₯ β π½ β§ π¦ β π₯)) β βπ£ β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)(π½ βΎt π£) β Comp) |
53 | 52 | ralrimivva 3194 |
. 2
β’ ((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β
βπ₯ β π½ βπ¦ β π₯ βπ£ β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)(π½ βΎt π£) β Comp) |
54 | | isnlly 22836 |
. 2
β’ (π½ β π-Locally Comp
β (π½ β Top β§
βπ₯ β π½ βπ¦ β π₯ βπ£ β (((neiβπ½)β{π¦}) β© π« π₯)(π½ βΎt π£) β Comp)) |
55 | 2, 53, 54 | sylanbrc 584 |
1
β’ ((π½ β Haus β§ π½ β Comp) β π½ β π-Locally
Comp) |