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Theorem hausllycmp 22998
Description: A compact Hausdorff space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausllycmp ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
Proof of Theorem hausllycmp
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 22835 . . 3 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘£) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑧))} = {𝑧 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘£) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑧))}
5 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
6 difssd 4133 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽)
7 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
81ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
103opncld 22537 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
12 cmpcld 22906 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ Comp)
137, 11, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (𝐽 β†Ύt (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ Comp)
14 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
15 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
17 dfss4 4259 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1816, 17sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1914, 18eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
203, 4, 5, 6, 13, 19hauscmplem 22910 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))))
2118sseq2d 4015 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))
2221anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)))
2322rexbidv 3179 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)))
2420, 23mpbid 231 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))
258adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
27 simprrl 780 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
28 opnneip 22623 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
30 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3130ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323sscls 22560 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’))
3325, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’))
343clsss3 22563 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)
3525, 31, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)
363ssnei2 22620 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦})) ∧ (𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
3725, 29, 33, 35, 36syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
38 simprrr 781 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)
39 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
4039elpw2 5346 . . . . . . 7 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)
4138, 40sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ 𝒫 π‘₯)
4237, 41elind 4195 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
437adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
443clscld 22551 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4525, 31, 44syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½))
46 cmpcld 22906 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp)
4743, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp)
48 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑣 = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑣) = (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)))
4948eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑣 = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp ↔ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp))
5049rspcev 3613 . . . . 5 ((((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5142, 47, 50syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5224, 51rexlimddv 3162 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5352ralrimivva 3201 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
54 isnlly 22973 . 2 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp))
552, 53, 54sylanbrc 584 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  Clsdccld 22520  clsccl 22522  neicnei 22601  Hauscha 22812  Compccmp 22890  π‘›-Locally cnlly 22969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cls 22525  df-nei 22602  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-nlly 22971
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