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Theorem hausllycmp 23218
Description: A compact Hausdorff space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausllycmp ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
Proof of Theorem hausllycmp
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 23055 . . 3 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 479 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2730 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2730 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘£) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑧))} = {𝑧 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘£) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑧))}
5 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
6 difssd 4131 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽)
7 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
81ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
103opncld 22757 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
118, 9, 10syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
12 cmpcld 23126 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ Comp)
137, 11, 12syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (𝐽 β†Ύt (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ∈ Comp)
14 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
15 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
1615ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
17 dfss4 4257 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1816, 17sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
1914, 18eleqtrrd 2834 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
203, 4, 5, 6, 13, 19hauscmplem 23130 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))))
2118sseq2d 4013 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))
2221anbi2d 627 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)))
2322rexbidv 3176 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)))
2420, 23mpbid 231 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))
258adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 767 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
27 simprrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
28 opnneip 22843 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
30 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3130ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323sscls 22780 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’))
3325, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’))
343clsss3 22783 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)
3525, 31, 34syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)
363ssnei2 22840 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦})) ∧ (𝑒 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
3725, 29, 33, 35, 36syl22anc 835 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
38 simprrr 778 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)
39 vex 3476 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
4039elpw2 5344 . . . . . . 7 (((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯)
4138, 40sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ 𝒫 π‘₯)
4237, 41elind 4193 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
437adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
443clscld 22771 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4525, 31, 44syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½))
46 cmpcld 23126 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp)
4743, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp)
48 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑣 = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑣) = (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)))
4948eleq1d 2816 . . . . . 6 (𝑣 = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp ↔ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp))
5049rspcev 3611 . . . . 5 ((((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’)) ∈ Comp) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5142, 47, 50syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘’) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5224, 51rexlimddv 3159 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
5352ralrimivva 3198 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp)
54 isnlly 23193 . 2 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝐽 β†Ύt 𝑣) ∈ Comp))
552, 53, 54sylanbrc 581 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ Comp) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  Clsdccld 22740  clsccl 22742  neicnei 22821  Hauscha 23032  Compccmp 23110  π‘›-Locally cnlly 23189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cls 22745  df-nei 22822  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-nlly 23191
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