Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnconn 34222
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconnconn (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)

Proof of Theorem pconnconn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . . 4 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
2 n0 4347 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ π‘₯)
3 n0 4347 . . . . . . . 8 (𝑦 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ 𝑦)
42, 3anbi12i 628 . . . . . . 7 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ↔ (βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ 𝑦))
5 exdistrv 1960 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ 𝑦))
64, 5bitr4i 278 . . . . . 6 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ↔ βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦))
7 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
8 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ π‘Ž ∈ π‘₯)
9 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
10 elunii 4914 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐽)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐽)
12 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
13 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
14 elunii 4914 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝐽)
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝐽)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1716pconncn 34215 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏))
187, 11, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏))
19 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
20 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘“β€˜1) = 𝑏)
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘“β€˜1) = 𝑏)
22 iiuni 24397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) = βˆͺ II
23 iiconn 24403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ Conn
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ II ∈ Conn)
25 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
269adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
27 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 βˆͺ π‘₯) = (π‘₯ βˆͺ 𝑦)
28 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)
2927, 28eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆͺ π‘₯) = βˆͺ 𝐽)
3013adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
31 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
33 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ 𝑦)
3433, 19eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…)
35 uneqdifeq 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…) β†’ ((𝑦 βˆͺ π‘₯) = βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑦) = π‘₯))
3632, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝑦 βˆͺ π‘₯) = βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑦) = π‘₯))
3729, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑦) = π‘₯)
38 pconntop 34216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4016opncld 22537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4139, 30, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4237, 41eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½))
43 0elunit 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 0 ∈ (0[,]1))
45 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘“β€˜0) = π‘Ž)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘“β€˜0) = π‘Ž)
478adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘Ž ∈ π‘₯)
4846, 47eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘“β€˜0) ∈ π‘₯)
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48conncn 22930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢π‘₯)
50 1elunit 13447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
51 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟢π‘₯ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘“β€˜1) ∈ π‘₯)
5249, 50, 51sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘“β€˜1) ∈ π‘₯)
5321, 52eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑏 ∈ π‘₯)
5412adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
55 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
5653, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
5719, 56pm2.21ddne 3027 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏)) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)
5857expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽 β†’ Β¬ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽))
5958pm2.01d 189 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏))) β†’ Β¬ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = βˆͺ 𝐽)
6059neqned 2948 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑏))) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)
6118, 60rexlimddv 3162 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)
6261exp32 422 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
6362exlimdvv 1938 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(π‘Ž ∈ π‘₯ ∧ 𝑏 ∈ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
646, 63biimtrid 241 . . . . 5 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
6564impd 412 . . . 4 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
661, 65biimtrid 241 . . 3 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
6766ralrimivva 3201 . 2 (𝐽 ∈ PConn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
6816toptopon 22419 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
6938, 68sylib 217 . . 3 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
70 dfconn2 22923 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
7169, 70syl 17 . 2 (𝐽 ∈ PConn β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
7267, 71mpbird 257 1 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520   Cn ccn 22728  Conncconn 22915  IIcii 24391  PConncpconn 34210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-conn 22916  df-ii 24393  df-pconn 34212
This theorem is referenced by:  resconn  34237  iinllyconn  34245  cvmlift2lem10  34303  cvmlift3  34319
  Copyright terms: Public domain W3C validator