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Theorem pconnconn 31682
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconnconn (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)

Proof of Theorem pconnconn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1109 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
2 n0 4097 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝑥)
3 n0 4097 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝑦)
42, 3anbi12i 620 . . . . . . 7 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
5 eeanv 2346 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
64, 5bitr4i 269 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦))
7 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝐽 ∈ PConn)
8 simprll 797 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎𝑥)
9 simplrl 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑥𝐽)
10 elunii 4601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑥𝑥𝐽) → 𝑎 𝐽)
118, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎 𝐽)
12 simprlr 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏𝑦)
13 simplrr 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑦𝐽)
14 elunii 4601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑦𝑦𝐽) → 𝑏 𝐽)
1512, 13, 14syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏 𝐽)
16 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1716pconncn 31675 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑎 𝐽𝑏 𝐽) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
187, 11, 15, 17syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
19 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = ∅)
20 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘1) = 𝑏)
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) = 𝑏)
22 iiuni 22977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) = II
23 iiconn 22983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ Conn
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → II ∈ Conn)
25 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
269adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥𝐽)
27 uncom 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
28 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = 𝐽)
2927, 28syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = 𝐽)
3013adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦𝐽)
31 elssuni 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
33 incom 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
3433, 19syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = ∅)
35 uneqdifeq 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝐽 ∧ (𝑦𝑥) = ∅) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3632, 34, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3729, 36mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) = 𝑥)
38 pconntop 31676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
3938ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
4016opncld 21131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4139, 30, 40syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4237, 41eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
43 0elunit 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 0 ∈ (0[,]1))
45 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘0) = 𝑎)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) = 𝑎)
478adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑎𝑥)
4846, 47eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑥)
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48conncn 21523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑥)
50 1elunit 12501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
51 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑥 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5249, 50, 51sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5321, 52eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑥)
5412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑦)
55 inelcm 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑥𝑏𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5653, 54, 55syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5719, 56pm2.21ddne 3021 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
5857expr 448 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ((𝑥𝑦) = 𝐽 → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽))
5958pm2.01d 181 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
6059neqned 2944 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6118, 60rexlimddv 3182 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6261exp32 411 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6362exlimdvv 2029 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
646, 63syl5bi 233 . . . . 5 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6564impd 398 . . . 4 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
661, 65syl5bi 233 . . 3 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6766ralrimivva 3118 . 2 (𝐽 ∈ PConn → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6816toptopon 21015 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
6938, 68sylib 209 . . 3 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
70 dfconn2 21516 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7169, 70syl 17 . 2 (𝐽 ∈ PConn → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7267, 71mpbird 248 1 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3731  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081   cuni 4596  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  0cc0 10193  1c1 10194  [,]cicc 12385  Topctop 20991  TopOnctopon 21008  Clsdccld 21114   Cn ccn 21322  Conncconn 21508  IIcii 22971  PConncpconn 31670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-rest 16363  df-topgen 16384  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-top 20992  df-topon 21009  df-bases 21044  df-cld 21117  df-cn 21325  df-conn 21509  df-ii 22973  df-pconn 31672
This theorem is referenced by:  resconn  31697  iinllyconn  31705  cvmlift2lem10  31763  cvmlift3  31779
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