Theorem pserval 26400

Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
pserval	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝑋   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pserval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7370	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦↑𝑚) = (𝑋↑𝑚))
2	1	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
3	2	mpteq2dv 5173	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
4		pser.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
5		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
6		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
7	5, 6	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
8	7	cbvmptv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
9		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑚) = (𝑦↑𝑚))
10	9	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚)))
11	10	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
12	8, 11	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
13	12	cbvmptv 5183	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
14	4, 13	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
15		nn0ex 12441	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	mptex 7174	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ V
17	3, 14, 16	fvmpt 6942	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041  ℕ₀cn0 12435  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-n0 12436

This theorem is referenced by:  pserval2  26401  psergf  26402