Theorem pserval 26719

Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
pserval	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝑋   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem pserval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦↑𝑚) = (𝑋↑𝑚))
2	1	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)))
3	2	mpteq2dv 5199	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
4		pser.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
5		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
6		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
7	5, 6	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
8	7	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
9		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑚) = (𝑦↑𝑚))
10	9	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚)))
11	10	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
12	8, 11	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
13	12	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
14	4, 13	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑦↑𝑚))))
15		nn0ex 12593	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	mptex 7221	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))) ∈ V
17	3, 14, 16	fvmpt 6985	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   · cmul 11186  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-n0 12588

This theorem is used by:  pserval2  26720  psergf  26721