MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserval 26296
Description: Value of the function ๐บ that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
Assertion
Ref Expression
pserval (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘š))))
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด   ๐‘š,๐‘‹   ๐‘š,๐บ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem pserval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆโ†‘๐‘š) = (๐‘‹โ†‘๐‘š))
21oveq2d 7420 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š)) = ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘š)))
32mpteq2dv 5243 . 2 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š))) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘š))))
4 pser.g . . 3 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
5 fveq2 6884 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ดโ€˜๐‘š))
6 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘›) = (๐‘ฅโ†‘๐‘š))
75, 6oveq12d 7422 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›)) = ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘š)))
87cbvmptv 5254 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘š)))
9 oveq1 7411 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘š) = (๐‘ฆโ†‘๐‘š))
109oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘š)) = ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š)))
1110mpteq2dv 5243 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘š))) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š))))
128, 11eqtrid 2778 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š))))
1312cbvmptv 5254 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š))))
144, 13eqtri 2754 . 2 ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘ฆโ†‘๐‘š))))
15 nn0ex 12479 . . 3 โ„•0 โˆˆ V
1615mptex 7219 . 2 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘š))) โˆˆ V
173, 14, 16fvmpt 6991 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘š) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-n0 12474
This theorem is referenced by:  pserval2  26297  psergf  26298
  Copyright terms: Public domain W3C validator