Theorem pserval2 26611

Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
pserval2	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem pserval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
2	1	pserval 26610	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))))
3	2	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁))
4		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐴‘𝑦) = (𝐴‘𝑁))
5		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑋↑𝑦) = (𝑋↑𝑁))
6	4, 5	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
7		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))
8		ovex 7456	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6996	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
10	3, 9	sylan9eq 2821	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252  df-n0 12523

This theorem is used by:  radcnvlem1  26613  radcnv0  26616  dvradcnv  26621  pserulm  26622  psercn2  26623  pserdvlem2  26628  abelth  26641