Theorem pserval2 26320

Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
pserval2	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pserval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
2	1	pserval 26319	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))))
3	2	fveq1d 6860	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁))
4		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐴‘𝑦) = (𝐴‘𝑁))
5		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑋↑𝑦) = (𝑋↑𝑁))
6	4, 5	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))
8		ovex 7420	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6968	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
10	3, 9	sylan9eq 2784	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26322  radcnv0  26325  dvradcnv  26330  pserulm  26331  psercn2  26332  psercn2OLD  26333  pserdvlem2  26338  abelth  26351