MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserval2 25786
Description: Value of the function ๐บ that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
Assertion
Ref Expression
pserval2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
21pserval 25785 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ))))
32fveq1d 6849 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))โ€˜๐‘))
4 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘ฆ) = (๐ดโ€˜๐‘))
5 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
64, 5oveq12d 7380 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
7 eqid 2737 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))
8 ovex 7395 . . 3 ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 6953 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
103, 9sylan9eq 2797 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-n0 12421
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  25788  radcnv0  25791  dvradcnv  25796  pserulm  25797  psercn2  25798  pserdvlem2  25803  abelth  25816
  Copyright terms: Public domain W3C validator