MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserval2 26367
Description: Value of the function ๐บ that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
Assertion
Ref Expression
pserval2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘›))))
21pserval 26366 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ))))
32fveq1d 6904 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))โ€˜๐‘))
4 fveq2 6902 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘ฆ) = (๐ดโ€˜๐‘))
5 oveq2 7434 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
64, 5oveq12d 7444 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
7 eqid 2728 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))
8 ovex 7459 . . 3 ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 7010 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘ฆ)))โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
103, 9sylan9eq 2788 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹)โ€˜๐‘) = ((๐ดโ€˜๐‘) ยท (๐‘‹โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151  โ„•0cn0 12510  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-n0 12511
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26369  radcnv0  26372  dvradcnv  26377  pserulm  26378  psercn2  26379  psercn2OLD  26380  pserdvlem2  26385  abelth  26398
  Copyright terms: Public domain W3C validator