MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserval2 24613
Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
Assertion
Ref Expression
pserval2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
21pserval 24612 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺𝑋) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦))))
32fveq1d 6450 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))‘𝑁))
4 fveq2 6448 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐴𝑦) = (𝐴𝑁))
5 oveq2 6932 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑁))
64, 5oveq12d 6942 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
7 eqid 2778 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))
8 ovex 6956 . . 3 ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6544 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
103, 9sylan9eq 2834 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272   · cmul 10279  0cn0 11647  cexp 13183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-nn 11380  df-n0 11648
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  24615  radcnv0  24618  dvradcnv  24623  pserulm  24624  psercn2  24625  pserdvlem2  24630  abelth  24643
  Copyright terms: Public domain W3C validator