MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserval2 26455
Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
Assertion
Ref Expression
pserval2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
21pserval 26454 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺𝑋) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦))))
32fveq1d 6907 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))‘𝑁))
4 fveq2 6905 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐴𝑦) = (𝐴𝑁))
5 oveq2 7440 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑁))
64, 5oveq12d 7450 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
7 eqid 2736 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))
8 ovex 7465 . . 3 ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 7015 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑦) · (𝑋𝑦)))‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
103, 9sylan9eq 2796 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝑋𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154   · cmul 11161  0cn0 12528  cexp 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26457  radcnv0  26460  dvradcnv  26465  pserulm  26466  psercn2  26467  psercn2OLD  26468  pserdvlem2  26473  abelth  26486
  Copyright terms: Public domain W3C validator