MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psergf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psergf 24614
Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
psergf (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem psergf
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnv.a . 2 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 psergf.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3 ffvelrn 6623 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
43adantlr 705 . . . . 5 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
5 expcl 13201 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
65adantll 704 . . . . 5 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10399 . . . 4 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
87fmpttd 6651 . . 3 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))):ℕ0⟶ℂ)
9 pser.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
109pserval 24612 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))))
1110adantl 475 . . . 4 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))))
1211feq1d 6278 . . 3 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))):ℕ0⟶ℂ))
138, 12mpbird 249 . 2 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
141, 2, 13syl2anc 579 1 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cmpt 4967  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272   · cmul 10279  0cn0 11647  cexp 13183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-seq 13125  df-exp 13184
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  24615  radcnvlem2  24616  radcnvlem3  24617  radcnv0  24618  radcnvlt2  24621  dvradcnv  24623  pserulm  24624  pserdvlem2  24630
  Copyright terms: Public domain W3C validator