Theorem psergf 26612

Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
psergf	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem psergf

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		psergf.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		pser.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4	3	pserval 26610	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
6		ffvelcdm 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
7	6	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
8		expcl 14135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
9	8	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11247	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) ∈ ℂ)
11	5, 10	fmpt3d 7118	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  radcnvlem1  26613  radcnvlem2  26614  radcnvlem3  26615  radcnv0  26616  radcnvlt2  26619  dvradcnv  26621  pserulm  26622  pserdvlem2  26628