MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psergf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psergf 26361
Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
psergf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem psergf
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnv.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 psergf.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3 pser.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
43pserval 26359 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
54adantl 481 . . 3 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
6 ffvelcdm 7091 . . . . 5 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
76adantlr 714 . . . 4 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8 expcl 14077 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘š) ∈ β„‚)
98adantll 713 . . . 4 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘š) ∈ β„‚)
107, 9mulcld 11265 . . 3 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) ∈ β„‚)
115, 10fmpt3d 7126 . 2 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
121, 2, 11syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137   Β· cmul 11144  β„•0cn0 12503  β†‘cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26362  radcnvlem2  26363  radcnvlem3  26364  radcnv0  26365  radcnvlt2  26368  dvradcnv  26370  pserulm  26371  pserdvlem2  26378
  Copyright terms: Public domain W3C validator