Theorem psergf 26553

Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
psergf	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem psergf

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		psergf.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		pser.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4	3	pserval 26551	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚))))
6		ffvelcdm 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
7	6	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
8		expcl 14117	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
9	8	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑚) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑚)) ∈ ℂ)
11	5, 10	fmpt3d 7113	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   · cmul 11106  ℕ₀cn0 12505  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26554  radcnvlem2  26555  radcnvlem3  26556  radcnv0  26557  radcnvlt2  26560  dvradcnv  26562  pserulm  26563  pserdvlem2  26569