MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psergf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psergf 25915
Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
psergf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem psergf
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnv.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 psergf.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3 pser.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
43pserval 25913 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
54adantl 482 . . 3 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
6 ffvelcdm 7080 . . . . 5 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
76adantlr 713 . . . 4 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8 expcl 14041 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘š) ∈ β„‚)
98adantll 712 . . . 4 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘š) ∈ β„‚)
107, 9mulcld 11230 . . 3 (((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘š)) ∈ β„‚)
115, 10fmpt3d 7112 . 2 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
121, 2, 11syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   Β· cmul 11111  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  25916  radcnvlem2  25917  radcnvlem3  25918  radcnv0  25919  radcnvlt2  25922  dvradcnv  25924  pserulm  25925  pserdvlem2  25931
  Copyright terms: Public domain W3C validator