Theorem ulmbdd 26314

Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmbdd.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmbdd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmbdd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmbdd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmbdd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ulmbdd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
5		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
6		ulmbdd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		1rp 12962	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	ulmi 26302	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
10	1	r19.2uz 15325	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
11		ulmbdd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12		r19.26 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))
13		peano2re 11354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15		ulmcl 26297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
19	17, 18	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
21	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
22		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	21, 22	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
24		elmapi 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
26	25, 18	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
28	19, 26	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
29	28	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
30	27, 29	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32	26, 19	pncan3d 11543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
33	32	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
34	26, 28	abstrid 15432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
35	33, 34	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
40	19, 26	abssubd 15429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
41		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
42	40, 41	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1)
43		ltle 11269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
44	29, 37, 43	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
45	42, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
46	27, 29, 36, 38, 39, 45	le2addd 11804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
47	20, 30, 31, 35, 46	letrd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
49	48	ralimdva 3146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50		brralrspcev 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
51	14, 49, 50	syl6an 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
52	12, 51	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
53	52	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
54	53	rexlimdva 3135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
55	11, 54	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
56		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
57	56	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
58	57	cbvrexvw 3217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)
59	55, 58	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
60	59	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
61	10, 60	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
62	9, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207  ⇝_𝑢culm 26292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-ulm 26293

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26321