Theorem ulmbdd 26340

Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmbdd.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmbdd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmbdd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmbdd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmbdd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ulmbdd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
5		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
6		ulmbdd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		1rp 12900	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	ulmi 26328	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
10	1	r19.2uz 15265	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
11		ulmbdd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12		r19.26 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))
13		peano2re 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15		ulmcl 26323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
19	17, 18	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
21	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
22		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	21, 22	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
24		elmapi 8779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
26	25, 18	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
28	19, 26	subcld 11478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
29	28	abscld 15352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
30	27, 29	readdcld 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32	26, 19	pncan3d 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
33	32	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
34	26, 28	abstrid 15372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
35	33, 34	eqbrtrrd 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		1re 11118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
40	19, 26	abssubd 15369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
41		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
42	40, 41	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1)
43		ltle 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
44	29, 37, 43	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
45	42, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
46	27, 29, 36, 38, 39, 45	le2addd 11742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
47	20, 30, 31, 35, 46	letrd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
49	48	ralimdva 3144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50		brralrspcev 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
51	14, 49, 50	syl6an 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
52	12, 51	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
53	52	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
54	53	rexlimdva 3133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
55	11, 54	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
56		breq2 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
57	56	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
58	57	cbvrexvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)
59	55, 58	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
60	59	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
61	10, 60	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
62	9, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5093  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℂcc 11010  ℝcr 11011  1c1 11013   + caddc 11015   < clt 11152   ≤ cle 11153   − cmin 11350  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12896  abscabs 15147  ⇝_𝑢culm 26318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-ulm 26319

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26347