Theorem ulmbdd 26367

Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmbdd.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmbdd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmbdd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmbdd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmbdd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ulmbdd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
5		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
6		ulmbdd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		1rp 12913	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	ulmi 26355	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
10	1	r19.2uz 15279	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
11		ulmbdd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12		r19.26 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))
13		peano2re 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15		ulmcl 26350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
19	17, 18	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
21	3	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
22		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	21, 22	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
24		elmapi 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
26	25, 18	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
28	19, 26	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
29	28	abscld 15366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
30	27, 29	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32	26, 19	pncan3d 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
33	32	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
34	26, 28	abstrid 15386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
35	33, 34	eqbrtrrd 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
36		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		1re 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
40	19, 26	abssubd 15383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
41		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
42	40, 41	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1)
43		ltle 11225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
44	29, 37, 43	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
45	42, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
46	27, 29, 36, 38, 39, 45	le2addd 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
47	20, 30, 31, 35, 46	letrd 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
49	48	ralimdva 3149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50		brralrspcev 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
51	14, 49, 50	syl6an 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
52	12, 51	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
53	52	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
54	53	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
55	11, 54	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
56		breq2 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
57	56	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
58	57	cbvrexvw 3216	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)
59	55, 58	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
60	59	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
61	10, 60	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
62	9, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11028  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ℝ⁺crp 12909  abscabs 15161  ⇝_𝑢culm 26345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-ulm 26346

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26374