MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmbdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmbdd 26455
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmbdd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmbdd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmbdd.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ulmbdd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
5 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6 ulmbdd.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 1rp 13035 . . . 4 1 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 26443 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
101r19.2uz 15386 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
11 ulmbdd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12 r19.26 3108 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))
13 peano2re 11431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15 ulmcl 26438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1716ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑧𝑆)
1917, 18ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2019abscld 15471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
213ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
22 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑘𝑍)
2321, 22ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
24 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2625, 18ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2726abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
2819, 26subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
2928abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
3027, 29readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
3114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3226, 19pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (𝐺𝑧))
3332fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺𝑧)))
3426, 28abstrid 15491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
3533, 34eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
36 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
4019, 26abssubd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
41 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
4240, 41eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1)
43 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4429, 37, 43sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 11879 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
4720, 30, 31, 35, 46letrd 11415 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
4847expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
4948ralimdva 3164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50 brralrspcev 5207 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
5114, 49, 50syl6an 684 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5212, 51biimtrrid 243 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5352expd 415 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5453rexlimdva 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5511, 54mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
56 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
5756ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
5857cbvrexvw 3235 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
5955, 58imbitrdi 251 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6059rexlimdva 3152 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6110, 60syl5 34 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
629, 61mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  𝑢culm 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-ulm 26434
This theorem is referenced by:  mtestbdd  26462
  Copyright terms: Public domain W3C validator