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Theorem ulmbdd 25773
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmbdd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmbdd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
ulmbdd.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmbdd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑧,𝐹   π‘˜,𝐺,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 ulmbdd.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 ulmbdd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
5 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
6 ulmbdd.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
7 1rp 12926 . . . 4 1 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 25761 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1)
101r19.2uz 15243 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1)
11 ulmbdd.b . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
12 r19.26 3115 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))
13 peano2re 11335 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
15 ulmcl 25756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
1917, 18ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
2019abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
22 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2321, 22ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
24 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2625, 18ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
2726abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
2819, 26subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2928abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) ∈ ℝ)
3027, 29readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))) ∈ ℝ)
3114adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
3226, 19pncan3d 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘§))
3332fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
3426, 28abstrid 15348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))))
3533, 34eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))))
36 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
37 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
39 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
4019, 26abssubd 15345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
41 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1)
4240, 41eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < 1)
43 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < 1 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) ≀ 1))
4429, 37, 43sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) < 1 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) ≀ 1))
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))) ≀ 1)
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 11781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))) ≀ (π‘₯ + 1))
4720, 30, 31, 35, 46letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ + 1))
4847expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ + 1)))
4948ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ + 1)))
50 brralrspcev 5170 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ + 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ + 1)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
5114, 49, 50syl6an 683 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
5212, 51biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
5352expd 417 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)))
5453rexlimdva 3153 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)))
5511, 54mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
56 breq2 5114 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
5756ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
5857cbvrexvw 3229 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
5955, 58syl6ib 251 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
6059rexlimdva 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
6110, 60syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
629, 61mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  mtestbdd  25780
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