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Theorem ulmbdd 24443
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmbdd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmbdd.b ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmbdd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmbdd.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ulmbdd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
4 eqidd 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
5 eqidd 2766 . . 3 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6 ulmbdd.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 1rp 12032 . . . 4 1 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 24431 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
101r19.2uz 14376 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
11 ulmbdd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12 r19.26 3211 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))
13 peano2re 10463 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
1413adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15 ulmcl 24426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1716ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑧𝑆)
1917, 18ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2019abscld 14460 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
213ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
22 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑘𝑍)
2321, 22ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
24 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2625, 18ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2726abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
2819, 26subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
2928abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
3027, 29readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
3114adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3226, 19pncan3d 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (𝐺𝑧))
3332fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺𝑧)))
3426, 28abstrid 14480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
3533, 34eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
36 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
4019, 26abssubd 14477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
41 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
4240, 41eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1)
43 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4429, 37, 43sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 10900 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
4720, 30, 31, 35, 46letrd 10448 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
4847expr 448 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
4948ralimdva 3109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50 brralrspcev 4869 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
5114, 49, 50syl6an 674 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5212, 51syl5bir 234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5352expd 404 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5453rexlimdva 3178 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5511, 54mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
56 breq2 4813 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
5756ralbidv 3133 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
5857cbvrexv 3320 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
5955, 58syl6ib 242 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6059rexlimdva 3178 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6110, 60syl5 34 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
629, 61mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  abscabs 14259  𝑢culm 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-ulm 24422
This theorem is referenced by:  mtestbdd  24450
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