Theorem ulmbdd 24988

Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmbdd.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmbdd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmbdd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmbdd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmbdd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmbdd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ulmbdd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4		eqidd 2824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
5		eqidd 2824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
6		ulmbdd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		1rp 12396	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	ulmi 24976	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
10	1	r19.2uz 14713	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
11		ulmbdd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12		r19.26 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))
13		peano2re 10815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
14	13	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15		ulmcl 24971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
19	17, 18	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
20	19	abscld 14798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
21	3	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
22		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	21, 22	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
24		elmapi 8430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
26	25, 18	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	abscld 14798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
28	19, 26	subcld 10999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
29	28	abscld 14798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
30	27, 29	readdcld 10672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
31	14	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32	26, 19	pncan3d 11002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
33	32	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
34	26, 28	abstrid 14818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
35	33, 34	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))))
36		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		1re 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
40	19, 26	abssubd 14815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
41		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)
42	40, 41	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1)
43		ltle 10731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
44	29, 37, 43	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
45	42, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
46	27, 29, 36, 38, 39, 45	le2addd 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
47	20, 30, 31, 35, 46	letrd 10799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
48	47	expr 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
49	48	ralimdva 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50		brralrspcev 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
51	14, 49, 50	syl6an 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
52	12, 51	syl5bir 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
53	52	expd 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
54	53	rexlimdva 3286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)))
55	11, 54	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
56		breq2 5072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
57	56	ralbidv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
58	57	cbvrexvw 3452	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)
59	55, 58	syl6ib 253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
60	59	rexlimdva 3286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
61	10, 60	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥))
62	9, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  ℂcc 10537  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595  ⇝_𝑢culm 24966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-ulm 24967

This theorem is referenced by:  mtestbdd  24995