Theorem lmcls 23300

Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcls.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmcls	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcls

Dummy variables 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcls.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmff.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		lmff.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmbr2 23257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	1, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7	6	simp3d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8	3	r19.2uz 15358	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
9		lmcls.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
10		inelcm 4469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	9, 11	mpan2d 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	adantld 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	13	rexlimdva 3145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
15	8, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imim2d 57	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
17	16	ralimdv 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
18	7, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19		topontop 22909	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
20	2, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
21		lmcls.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		toponuni 22910	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	21, 23	sseqtrd 4020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
25		lmcl 23295	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
26	2, 1, 25	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	26, 23	eleqtrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
28		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
29	28	elcls 23071	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
30	20, 24, 27, 29	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
31	18, 30	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  ∪ cuni 4915   class class class wbr 5155  dom cdm 5684  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426   ↑_pm cpm 8858  ℂcc 11158  ℤcz 12612  ℤ_≥cuz 12876  Topctop 22889  TopOnctopon 22906  clsccl 23016  ⇝_𝑡clm 23224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8736  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-neg 11499  df-z 12613  df-uz 12877  df-top 22890  df-topon 22907  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-lm 23227

This theorem is referenced by:  lmcld  23301  1stcelcls  23459  caublcls  25331