Theorem lmcls 22533

Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcls.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmcls	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcls

Dummy variables 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcls.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmff.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		lmff.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmbr2 22490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	1, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7	6	simp3d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8	3	r19.2uz 15139	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
9		lmcls.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
10		inelcm 4408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	9, 11	mpan2d 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	13	rexlimdva 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
15	8, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imim2d 57	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
17	16	ralimdv 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
18	7, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19		topontop 22142	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
20	2, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
21		lmcls.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		toponuni 22143	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	21, 23	sseqtrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
25		lmcl 22528	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
26	2, 1, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	26, 23	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
28		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
29	28	elcls 22304	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
30	20, 24, 27, 29	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
31	18, 30	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3895   ⊆ wss 3896  ∅c0 4266  ∪ cuni 4849   class class class wbr 5086  dom cdm 5607  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316   ↑_pm cpm 8665  ℂcc 10948  ℤcz 12398  ℤ_≥cuz 12661  Topctop 22122  TopOnctopon 22139  clsccl 22249  ⇝_𝑡clm 22457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-er 8547  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-neg 11287  df-z 12399  df-uz 12662  df-top 22123  df-topon 22140  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-lm 22460

This theorem is referenced by:  lmcld  22534  1stcelcls  22692  caublcls  24553