Theorem lmcls 22806

Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcls.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmcls	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcls

Dummy variables 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcls.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmff.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		lmff.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmbr2 22763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	1, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7	6	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8	3	r19.2uz 15298	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
9		lmcls.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
10		inelcm 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	9, 11	mpan2d 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	adantld 492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	13	rexlimdva 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
15	8, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imim2d 57	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
17	16	ralimdv 3170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
18	7, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19		topontop 22415	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
20	2, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
21		lmcls.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		toponuni 22416	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	21, 23	sseqtrd 4023	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
25		lmcl 22801	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
26	2, 1, 25	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	26, 23	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
28		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
29	28	elcls 22577	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
30	20, 24, 27, 29	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_pm cpm 8821  ℂcc 11108  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  clsccl 22522  ⇝_𝑡clm 22730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-lm 22733

This theorem is referenced by:  lmcld  22807  1stcelcls  22965  caublcls  24826