Theorem lmcls 23196

Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcls.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmcls	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcls

Dummy variables 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcls.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmff.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		lmff.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmbr2 23153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7	6	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8	3	r19.2uz 15325	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
9		lmcls.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
10		inelcm 4431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	9, 11	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	13	rexlimdva 3135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
15	8, 14	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imim2d 57	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
17	16	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
18	7, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19		topontop 22807	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
20	2, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
21		lmcls.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		toponuni 22808	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	21, 23	sseqtrd 3986	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
25		lmcl 23191	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
26	2, 1, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	26, 23	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
28		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
29	28	elcls 22967	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
30	20, 24, 27, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  Topctop 22787  TopOnctopon 22804  clsccl 22912  ⇝_𝑡clm 23120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-top 22788  df-topon 22805  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-lm 23123

This theorem is referenced by:  lmcld  23197  1stcelcls  23355  caublcls  25216