Theorem lmcls 23625

Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcls.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmcls	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcls

Dummy variables 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcls.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmff.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		lmff.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmbr2 23582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
6	1, 5	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7	6	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8	3	r19.2uz 15524	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
9		lmcls.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
10		inelcm 4417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	9, 11	mpan2d 707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	13	rexlimdva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
15	8, 14	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imim2d 58	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
17	16	ralimdv 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
18	7, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19		topontop 23236	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
20	2, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
21		lmcls.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		toponuni 23237	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
23	2, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	21, 23	sseqtrd 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
25		lmcl 23620	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
26	2, 1, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	26, 23	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
29	28	elcls 23396	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
30	20, 24, 27, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
31	18, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8851  ℂcc 11201  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  Topctop 23216  TopOnctopon 23233  clsccl 23341  ⇝_𝑡clm 23549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-neg 11547  df-z 12697  df-uz 12969  df-top 23217  df-topon 23234  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-lm 23552

This theorem is used by:  lmcld  23626  1stcelcls  23785  caublcls  25635