Theorem rexuzre 15299

Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuzre	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12833	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2		rexuz3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
4	3	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5		eluzelz 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5, 2	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 2	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9		eluz 12836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
11	10	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
12	11	expimpd 455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
13	12	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
14	13	exp4a 433	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))))
15	14	ralimdv2 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
16	15	imp 408	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
17	4, 16	jca 513	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
18	17	reximi2 3080	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
19		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		flcl 13760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
21	20	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
23	22, 19	ifcld 4575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24		zre 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25		reflcl 13761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26		peano2re 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28		max1 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
29	24, 27, 28	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30		eluz2 12828	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
31	19, 23, 29, 30	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 2	eleqtrrdi 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33		impexp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
34		uzss 12845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 2	sseqtrrdi 4034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
37	36	sselda 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
39	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
40	39	zred 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41		eluzelre 12833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
44	27	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
45	23	zred 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46		fllep1 13766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
47	46	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48		max2 13166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
49	24, 27, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
50	43, 44, 45, 47, 49	letrd 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
51	50	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52		eluzle 12835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
54	38, 40, 42, 51, 53	letrd 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ 𝑘)
55	37, 54	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘))
56	55	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
57	56	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
58	33, 57	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
59	58	ralimdv2 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
61	60	raleqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
62	61	rspcev 3613	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑)
63	32, 59, 62	syl6an 683	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
64	63	rexlimdva 3156	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
65		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
66	65	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
67	66	cbvrexvw 3236	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
68	64, 67	imbitrdi 250	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
69	18, 68	impbid2 225	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ⌊cfl 13755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  44529