Theorem rexuzre 15403

Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuzre	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12872	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2		rexuz3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2887	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5		eluzelz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5, 2	eleq2s 2887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 2	eleq2s 2887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9		eluz 12875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
11	10	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
12	11	expimpd 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
13	12	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
14	13	exp4a 436	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))))
15	14	ralimdv2 3180	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
16	15	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
17	4, 16	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
18	17	reximi2 3104	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
19		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		flcl 13827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
21	20	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 12702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
23	22, 19	ifcld 4539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24		zre 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25		reflcl 13828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26		peano2re 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28		max1 13210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
29	24, 27, 28	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30		eluz2 12867	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
31	19, 23, 29, 30	syl3anbrc 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 2	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33		impexp 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
34		uzss 12884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
35	31, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 2	sseqtrrdi 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
37	36	sselda 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
39	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
40	39	zred 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41		eluzelre 12872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
44	27	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
45	23	zred 12699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46		fllep1 13833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
47	46	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48		max2 13212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
49	24, 27, 48	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
50	43, 44, 45, 47, 49	letrd 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
51	50	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52		eluzle 12874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
54	38, 40, 42, 51, 53	letrd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ 𝑘)
55	37, 54	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘))
56	55	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
57	56	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
58	33, 57	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
59	58	ralimdv2 3180	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
61	60	raleqdv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
62	61	rspcev 3590	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑)
63	32, 59, 62	syl6an 696	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
64	63	rexlimdva 3172	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
65		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
66	65	raleqdv 3329	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
67	66	cbvrexvw 3250	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
68	64, 67	imbitrdi 254	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
69	18, 68	impbid2 229	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ⌊cfl 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fl 13824

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  46418