Theorem rexuzre 15326

Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuzre	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12811	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2		rexuz3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5		eluzelz 12810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9		eluz 12814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
11	10	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
12	11	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
13	12	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
14	13	exp4a 431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))))
15	14	ralimdv2 3143	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
16	15	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
17	4, 16	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
18	17	reximi2 3063	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
19		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		flcl 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 12648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
23	22, 19	ifcld 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24		zre 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25		reflcl 13765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26		peano2re 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28		max1 13152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
29	24, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30		eluz2 12806	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
31	19, 23, 29, 30	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 2	eleqtrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
34		uzss 12823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 2	sseqtrrdi 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
37	36	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
40	39	zred 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41		eluzelre 12811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
44	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
45	23	zred 12645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46		fllep1 13770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48		max2 13154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
49	24, 27, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
50	43, 44, 45, 47, 49	letrd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52		eluzle 12813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
54	38, 40, 42, 51, 53	letrd 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ 𝑘)
55	37, 54	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘))
56	55	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
57	56	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
58	33, 57	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
59	58	ralimdv2 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
61	60	raleqdv 3301	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
62	61	rspcev 3591	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑)
63	32, 59, 62	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
64	63	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
65		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
66	65	raleqdv 3301	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
67	66	cbvrexvw 3217	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
68	64, 67	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
69	18, 68	impbid2 226	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45818