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Theorem rexuzre 14691
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuzre (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12232 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2 rexuz3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2930 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5 eluzelz 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
65, 2eleq2s 2930 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 2eleq2s 2930 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
9 eluz 12235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
106, 8, 9syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
1110biimprd 251 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1211expimpd 457 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑)))
1413exp4a 435 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑))))
1514ralimdv2 3164 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1615imp 410 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
174, 16jca 515 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1817reximi2 3232 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
19 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 flcl 13148 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2221peano2zd 12068 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
2322, 19ifcld 4485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24 zre 11963 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25 reflcl 13149 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26 peano2re 10790 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28 max1 12556 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
2924, 27, 28syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30 eluz2 12227 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
3119, 23, 29, 30syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
3231, 2eleqtrrdi 2923 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33 impexp 454 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)))
34 uzss 12243 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3635, 2sseqtrrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3736sselda 3943 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘𝑍)
38 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
3923adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
4039zred 12065 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41 eluzelre 12232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
4427adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
4523zred 12065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46 fllep1 13154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
4746adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48 max2 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
4924, 27, 48syl2an 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5043, 44, 45, 47, 49letrd 10774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5150adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52 eluzle 12234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5352adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5438, 40, 42, 51, 53letrd 10774 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗𝑘)
5537, 54jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘𝑍𝑗𝑘))
5655ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘𝑍𝑗𝑘)))
5756imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5833, 57syl5bir 246 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5958ralimdv2 3164 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
6160raleqdv 3396 . . . . . 6 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
6261rspcev 3600 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑)
6332, 59, 62syl6an 683 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
6463rexlimdva 3270 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
65 fveq2 6643 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
6665raleqdv 3396 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6766cbvrexvw 3427 . . 3 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
6864, 67syl6ib 254 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6918, 68impbid2 229 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  wrex 3127  wss 3910  ifcif 4440   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  1c1 10515   + caddc 10517  cle 10653  cz 11959  cuz 12221  cfl 13143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fl 13145
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  42248
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