Theorem rexuzre 15520

Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuzre	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12976	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2		rexuz3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5		eluzelz 12975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9		eluz 12979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
11	10	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
12	11	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
13	12	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
14	13	exp4a 437	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))))
15	14	ralimdv2 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
16	15	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
17	4, 16	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
18	17	reximi2 3096	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
19		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		flcl 13935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
23	22, 19	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24		zre 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25		reflcl 13936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26		peano2re 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28		max1 13315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
29	24, 27, 28	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30		eluz2 12971	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
31	19, 23, 29, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 2	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33		impexp 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
34		uzss 12988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
35	31, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 2	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
37	36	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
39	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
40	39	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41		eluzelre 12976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
44	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
45	23	zred 12803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46		fllep1 13941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48		max2 13317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
49	24, 27, 48	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
50	43, 44, 45, 47, 49	letrd 11467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52		eluzle 12978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
54	38, 40, 42, 51, 53	letrd 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ 𝑘)
55	37, 54	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘))
56	55	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
57	56	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
58	33, 57	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
59	58	ralimdv2 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
61	60	raleqdv 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
62	61	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑)
63	32, 59, 62	syl6an 697	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
64	63	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
65		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
66	65	raleqdv 3320	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
67	66	cbvrexvw 3242	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
68	64, 67	imbitrdi 254	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
69	18, 68	impbid2 229	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ⌊cfl 13930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fl 13932

This theorem is used by:  limsupubuz2  46822