MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuzre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexuzre 15303
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuzre (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12837 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2 rexuz3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2849 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
43adantr 479 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
65, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
9 eluz 12840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
106, 8, 9syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
1110biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1211expimpd 452 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑)))
1413exp4a 430 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑))))
1514ralimdv2 3161 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1615imp 405 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
174, 16jca 510 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1817reximi2 3077 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
19 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 flcl 13764 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2120adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2221peano2zd 12673 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
2322, 19ifcld 4573 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24 zre 12566 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25 reflcl 13765 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26 peano2re 11391 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28 max1 13168 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
2924, 27, 28syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30 eluz2 12832 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
3119, 23, 29, 30syl3anbrc 1341 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
3231, 2eleqtrrdi 2842 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33 impexp 449 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)))
34 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3635, 2sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3736sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘𝑍)
38 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
3923adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
4039zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41 eluzelre 12837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
4427adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
4523zred 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46 fllep1 13770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48 max2 13170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
4924, 27, 48syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5043, 44, 45, 47, 49letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5352adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5438, 40, 42, 51, 53letrd 11375 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗𝑘)
5537, 54jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘𝑍𝑗𝑘))
5655ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘𝑍𝑗𝑘)))
5756imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5833, 57biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5958ralimdv2 3161 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
6160raleqdv 3323 . . . . . 6 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
6261rspcev 3611 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑)
6332, 59, 62syl6an 680 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
6463rexlimdva 3153 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
65 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
6665raleqdv 3323 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6766cbvrexvw 3233 . . 3 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
6864, 67imbitrdi 250 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6918, 68impbid2 225 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  cle 11253  cz 12562  cuz 12826  cfl 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  44827
  Copyright terms: Public domain W3C validator