MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem1 25325
Description: Lemma for iscmet3 25327. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
iscmet3.9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 iscmet3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
32iscmet3lem3 25324 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
41, 3sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
52r19.2uz 15390 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
87eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
9 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
11 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘𝑍)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘𝑍)
13 rsp 3247 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) → (𝑘𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛)))
1410, 12, 13sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
1512, 2eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzfz2 13572 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
188, 14, 17rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
197eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘)))
20 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
21 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2221eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛)))
2320, 22raleqbidv 3346 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛)))
242uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑗𝑍)
2623, 10, 25rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛))
27 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
28 elfzuzb 13558 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)))
2915, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
3019, 26, 29rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘))
31 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
3231ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
33 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433, 2eleq2s 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
3534ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
36 rsp 3247 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
3732, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
38 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝐹𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑣))
3938breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4140breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝐹𝑗) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
4239, 41rspc2va 3634 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
4318, 30, 37, 42syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
44 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4544ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
46 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍𝑋)
48 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
4947, 11, 48syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
50 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5147, 24, 50syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
52 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
5345, 49, 51, 52syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
54 1rp 13038 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
55 rphalfcl 13062 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℝ+
57 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5856, 35, 57sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5958rpred 13077 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
60 rpre 13043 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
6160ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62 lttr 11337 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6353, 59, 61, 62syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6443, 63mpand 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6564anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6665ralrimdva 3154 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6766reximdva 3168 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
686, 67mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟)
6968ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟)
70 metxmet 24344 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7144, 70syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
73 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
742, 71, 1, 72, 73, 46iscauf 25314 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
7569, 74mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  cexp 14102  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  MetOpencmopn 21354  Cauccau 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cau 25290
This theorem is referenced by:  iscmet3  25327
  Copyright terms: Public domain W3C validator