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Theorem iscmet3lem1 25235
Description: Lemma for iscmet3 25237. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
iscmet3.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
iscmet3.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
iscmet3.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣,𝐷   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑍,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝑀(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   𝑍(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables 𝑗 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 iscmet3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32iscmet3lem3 25234 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
41, 3sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
52r19.2uz 15328 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
7 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
87eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
9 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
11 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1211adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
13 rsp 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
1410, 12, 13sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
1512, 2eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzfz2 13539 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
188, 14, 17rspcdva 3603 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
197eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
20 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝑀...π‘˜) = (𝑀...𝑗))
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
2221eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
2320, 22raleqbidv 3330 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
242uztrn2 12869 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2623, 10, 25rspcdva 3603 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
27 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
28 elfzuzb 13525 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
2915, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗))
3019, 26, 29rspcdva 3603 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
31 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
33 eluzelz 12860 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3433, 2eleq2s 2843 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3534ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
36 rsp 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
3732, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
38 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣))
3938breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
40 oveq2 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
4140breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
4239, 41rspc2va 3614 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
4318, 30, 37, 42syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
44 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
46 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
4746adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
48 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
4947, 11, 48syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
50 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
5147, 24, 50syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
52 metcl 24254 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
5345, 49, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
54 1rp 13008 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
55 rphalfcl 13031 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℝ+
57 rpexpcl 14075 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5856, 35, 57sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5958rpred 13046 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
60 rpre 13012 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6160ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
62 lttr 11318 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6353, 59, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6443, 63mpand 693 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6564anassrs 466 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6665ralrimdva 3144 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6766reximdva 3158 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
686, 67mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ)
6968ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ)
70 metxmet 24256 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7144, 70syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
72 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
73 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
742, 71, 1, 72, 73, 46iscauf 25224 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
7569, 74mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  1c1 11137   < clt 11276   / cdiv 11899  2c2 12295  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  ...cfz 13514  β†‘cexp 14056  βˆžMetcxmet 21266  Metcmet 21267  MetOpencmopn 21271  Cauccau 25197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-fz 13515  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-cau 25200
This theorem is referenced by:  iscmet3  25237
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