Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | iscmet3.3 |
. . . . . 6
β’ (π β π β β€) |
2 | | iscmet3.1 |
. . . . . . 7
β’ π =
(β€β₯βπ) |
3 | 2 | iscmet3lem3 24677 |
. . . . . 6
β’ ((π β β€ β§ π β β+)
β βπ β
π βπ β
(β€β₯βπ)((1 / 2)βπ) < π) |
4 | 1, 3 | sylan 581 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((1 / 2)βπ) < π) |
5 | 2 | r19.2uz 15245 |
. . . . 5
β’
(βπ β
π βπ β
(β€β₯βπ)((1 / 2)βπ) < π β βπ β π ((1 / 2)βπ) < π) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β π ((1 / 2)βπ) < π) |
7 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
8 | 7 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((πΉβπ) β (πβπ) β (πΉβπ) β (πβπ))) |
9 | | iscmet3.10 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ β π βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ)) |
10 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ β π βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ)) |
11 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
12 | 11 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β π) |
13 | | rsp 3229 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(βπ β
π βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ) β (π β π β βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ))) |
14 | 10, 12, 13 | sylc 65 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ)) |
15 | 12, 2 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (β€β₯βπ)) |
16 | | eluzfz2 13458 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β (π...π)) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (π...π)) |
18 | 8, 14, 17 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (πΉβπ) β (πβπ)) |
19 | 7 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((πΉβπ) β (πβπ) β (πΉβπ) β (πβπ))) |
20 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π...π) = (π...π)) |
21 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
22 | 21 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((πΉβπ) β (πβπ) β (πΉβπ) β (πβπ))) |
23 | 20, 22 | raleqbidv 3318 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ) β βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ))) |
24 | 2 | uztrn2 12790 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
25 | 24 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β π) |
26 | 23, 10, 25 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ β (π...π)(πΉβπ) β (πβπ)) |
27 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (β€β₯βπ)) |
28 | | elfzuzb 13444 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π...π) β (π β (β€β₯βπ) β§ π β (β€β₯βπ))) |
29 | 15, 27, 28 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (π...π)) |
30 | 19, 26, 29 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (πΉβπ) β (πβπ)) |
31 | | iscmet3.9 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β βπ β β€ βπ’ β (πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ)) |
32 | 31 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ β β€ βπ’ β (πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ)) |
33 | | eluzelz 12781 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
34 | 33, 2 | eleq2s 2852 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π β β€) |
35 | 34 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β β€) |
36 | | rsp 3229 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ β
β€ βπ’ β
(πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ) β (π β β€ β βπ’ β (πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ))) |
37 | 32, 35, 36 | sylc 65 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ’ β (πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ)) |
38 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π’ = (πΉβπ) β (π’π·π£) = ((πΉβπ)π·π£)) |
39 | 38 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π’ = (πΉβπ) β ((π’π·π£) < ((1 / 2)βπ) β ((πΉβπ)π·π£) < ((1 / 2)βπ))) |
40 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π£ = (πΉβπ) β ((πΉβπ)π·π£) = ((πΉβπ)π·(πΉβπ))) |
41 | 40 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π£ = (πΉβπ) β (((πΉβπ)π·π£) < ((1 / 2)βπ) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < ((1 / 2)βπ))) |
42 | 39, 41 | rspc2va 3593 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΉβπ) β (πβπ) β§ (πΉβπ) β (πβπ)) β§ βπ’ β (πβπ)βπ£ β (πβπ)(π’π·π£) < ((1 / 2)βπ)) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < ((1 / 2)βπ)) |
43 | 18, 30, 37, 42 | syl21anc 837 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < ((1 / 2)βπ)) |
44 | | iscmet3.4 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π· β (Metβπ)) |
45 | 44 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π· β (Metβπ)) |
46 | | iscmet3.6 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β πΉ:πβΆπ) |
47 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β+) β πΉ:πβΆπ) |
48 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ:πβΆπ β§ π β π) β (πΉβπ) β π) |
49 | 47, 11, 48 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (πΉβπ) β π) |
50 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ:πβΆπ β§ π β π) β (πΉβπ) β π) |
51 | 47, 24, 50 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (πΉβπ) β π) |
52 | | metcl 23708 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π· β (Metβπ) β§ (πΉβπ) β π β§ (πΉβπ) β π) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) β β) |
53 | 45, 49, 51, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) β β) |
54 | | 1rp 12927 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 1 β
β+ |
55 | | rphalfcl 12950 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (1 β
β+ β (1 / 2) β β+) |
56 | 54, 55 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (1 / 2)
β β+ |
57 | | rpexpcl 13995 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((1 / 2)
β β+ β§ π β β€) β ((1 / 2)βπ) β
β+) |
58 | 56, 35, 57 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((1 / 2)βπ) β
β+) |
59 | 58 | rpred 12965 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((1 / 2)βπ) β
β) |
60 | | rpre 12931 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β+
β π β
β) |
61 | 60 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β β) |
62 | | lttr 11239 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΉβπ)π·(πΉβπ)) β β β§ ((1 / 2)βπ) β β β§ π β β) β
((((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < ((1 / 2)βπ) β§ ((1 / 2)βπ) < π) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
63 | 53, 59, 61, 62 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < ((1 / 2)βπ) β§ ((1 / 2)βπ) < π) β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
64 | 43, 63 | mpand 694 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (((1 / 2)βπ) < π β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
65 | 64 | anassrs 469 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((1 / 2)βπ) < π β ((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
66 | 65 | ralrimdva 3148 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β π) β (((1 / 2)βπ) < π β βπ β (β€β₯βπ)((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
67 | 66 | reximdva 3162 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β π ((1 / 2)βπ) < π β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
68 | 6, 67 | mpd 15 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π) |
69 | 68 | ralrimiva 3140 |
. 2
β’ (π β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π) |
70 | | metxmet 23710 |
. . . 4
β’ (π· β (Metβπ) β π· β (βMetβπ)) |
71 | 44, 70 | syl 17 |
. . 3
β’ (π β π· β (βMetβπ)) |
72 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
73 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
74 | 2, 71, 1, 72, 73, 46 | iscauf 24667 |
. 2
β’ (π β (πΉ β (Cauβπ·) β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((πΉβπ)π·(πΉβπ)) < π)) |
75 | 69, 74 | mpbird 257 |
1
β’ (π β πΉ β (Cauβπ·)) |