Theorem iscmet3lem1 24538

Description: Lemma for iscmet3 24540. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	iscmet3lem3 24537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
4	1, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
5	2	r19.2uz 15142	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7		fveq2 6812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
9		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
10	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
11		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13		rsp 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) → (𝑘 ∈ 𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)))
14	10, 12, 13	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
15	12, 2	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzfz2 13344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
18	8, 14, 17	rspcdva 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19	7	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)))
20		oveq2 7325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
21		fveq2 6812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
22	21	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
23	20, 22	raleqbidv 3316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
24	2	uztrn2 12681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	23, 10, 25	rspcdva 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛))
27		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		elfzuzb 13330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
30	19, 26, 29	rspcdva 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘))
31		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
32	31	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
33		eluzelz 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33, 2	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		rsp 3227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
37	32, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
38		oveq1 7324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
39	38	breq1d 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
40		oveq2 7325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
41	40	breq1d 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
42	39, 41	rspc2va 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
43	18, 30, 37, 42	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
44		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
45	44	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
46		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
48		ffvelcdm 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
49	47, 11, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
50		ffvelcdm 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
51	47, 24, 50	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
52		metcl 23568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
53	45, 49, 51, 52	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
54		1rp 12814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
55		rphalfcl 12837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
57		rpexpcl 13881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	56, 35, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
60		rpre 12818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62		lttr 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
63	53, 59, 61, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
64	43, 63	mpand 692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
65	64	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
66	65	ralrimdva 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
67	66	reximdva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
68	6, 67	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
69	68	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
70		metxmet 23570	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71	44, 70	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
73		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
74	2, 71, 1, 72, 73, 46	iscauf 24527	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
75	69, 74	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5087  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ℝcr 10950  1c1 10952   < clt 11089   / cdiv 11712  2c2 12108  ℤcz 12399  ℤ_≥cuz 12662  ℝ⁺crp 12810  ...cfz 13319  ↑cexp 13862  ∞Metcxmet 20665  Metcmet 20666  MetOpencmopn 20670  Cauccau 24500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-sup 9278  df-inf 9279  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-fz 13320  df-fl 13592  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-cau 24503

This theorem is referenced by:  iscmet3  24540