Theorem iscmet3lem1 24807

Description: Lemma for iscmet3 24809. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	iscmet3lem3 24806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
4	1, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
5	2	r19.2uz 15297	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
8	7	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
9		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
10	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
11		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13		rsp 3244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) → (𝑘 ∈ 𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)))
14	10, 12, 13	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
15	12, 2	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzfz2 13508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
18	8, 14, 17	rspcdva 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19	7	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)))
20		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
21		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
22	21	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
23	20, 22	raleqbidv 3342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
24	2	uztrn2 12840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	23, 10, 25	rspcdva 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛))
27		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		elfzuzb 13494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
30	19, 26, 29	rspcdva 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘))
31		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
32	31	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
33		eluzelz 12831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33, 2	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		rsp 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
37	32, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
38		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
39	38	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
40		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
41	40	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
42	39, 41	rspc2va 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
43	18, 30, 37, 42	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
44		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
46		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
48		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
49	47, 11, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
50		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
51	47, 24, 50	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
52		metcl 23837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
53	45, 49, 51, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
54		1rp 12977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
55		rphalfcl 13000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
57		rpexpcl 14045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	56, 35, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
60		rpre 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62		lttr 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
63	53, 59, 61, 62	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
64	43, 63	mpand 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
65	64	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
66	65	ralrimdva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
67	66	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
68	6, 67	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
69	68	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
70		metxmet 23839	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71	44, 70	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
73		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
74	2, 71, 1, 72, 73, 46	iscauf 24796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
75	69, 74	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   < clt 11247   / cdiv 11870  2c2 12266  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ℝ⁺crp 12973  ...cfz 13483  ↑cexp 14026  ∞Metcxmet 20928  Metcmet 20929  MetOpencmopn 20933  Cauccau 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-cau 24772

This theorem is referenced by:  iscmet3  24809