Theorem iscmet3lem1 25344

Description: Lemma for iscmet3 25346. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	iscmet3lem3 25343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
4	1, 3	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
5	2	r19.2uz 15400	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
8	7	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
9		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13		rsp 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) → (𝑘 ∈ 𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)))
14	10, 12, 13	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
15	12, 2	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzfz2 13592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
18	8, 14, 17	rspcdva 3636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19	7	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)))
20		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
21		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
22	21	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
23	20, 22	raleqbidv 3354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
24	2	uztrn2 12922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	23, 10, 25	rspcdva 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛))
27		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		elfzuzb 13578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
30	19, 26, 29	rspcdva 3636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘))
31		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
33		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33, 2	eleq2s 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		rsp 3253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
37	32, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
38		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
39	38	breq1d 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
40		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
41	40	breq1d 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
42	39, 41	rspc2va 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
43	18, 30, 37, 42	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
44		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
46		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
48		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
49	47, 11, 48	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
50		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
51	47, 24, 50	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
52		metcl 24363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
53	45, 49, 51, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
54		1rp 13061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
55		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
57		rpexpcl 14131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	56, 35, 57	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 13099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
60		rpre 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62		lttr 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
63	53, 59, 61, 62	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
64	43, 63	mpand 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
65	64	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
66	65	ralrimdva 3160	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
67	66	reximdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
68	6, 67	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
69	68	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
70		metxmet 24365	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71	44, 70	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
73		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
74	2, 71, 1, 72, 73, 46	iscauf 25333	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
75	69, 74	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   < clt 11324   / cdiv 11947  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  MetOpencmopn 21377  Cauccau 25306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-cau 25309

This theorem is referenced by:  iscmet3  25346