Theorem iscmet3lem1 25218

Description: Lemma for iscmet3 25220. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	iscmet3lem3 25217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
4	1, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
5	2	r19.2uz 15259	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
8	7	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
9		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13		rsp 3220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) → (𝑘 ∈ 𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)))
14	10, 12, 13	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
15	12, 2	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzfz2 13432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
18	8, 14, 17	rspcdva 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
19	7	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)))
20		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
21		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
22	21	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
23	20, 22	raleqbidv 3312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛)))
24	2	uztrn2 12751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	23, 10, 25	rspcdva 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑛))
27		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		elfzuzb 13418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
30	19, 26, 29	rspcdva 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘))
31		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
33		eluzelz 12742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33, 2	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		rsp 3220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
37	32, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
38		oveq1 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
39	38	breq1d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
40		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
41	40	breq1d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑗) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
42	39, 41	rspc2va 3584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
43	18, 30, 37, 42	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
44		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
46		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
48		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
49	47, 11, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
50		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
51	47, 24, 50	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
52		metcl 24247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
53	45, 49, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
54		1rp 12894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
55		rphalfcl 12919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
57		rpexpcl 13987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	56, 35, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
60		rpre 12899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62		lttr 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
63	53, 59, 61, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
64	43, 63	mpand 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
65	64	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
66	65	ralrimdva 3132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
67	66	reximdva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
68	6, 67	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
69	68	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟)
70		metxmet 24249	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71	44, 70	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
73		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
74	2, 71, 1, 72, 73, 46	iscauf 25207	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑟))
75	69, 74	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   < clt 11146   / cdiv 11774  2c2 12180  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  ∞Metcxmet 21276  Metcmet 21277  MetOpencmopn 21281  Cauccau 25180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-cau 25183

This theorem is referenced by:  iscmet3  25220