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Theorem iscmet3lem1 24678
Description: Lemma for iscmet3 24680. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
iscmet3.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
iscmet3.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
iscmet3.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣,𝐷   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑍,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝑀(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   𝑍(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables 𝑗 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 iscmet3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32iscmet3lem3 24677 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
41, 3sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
52r19.2uz 15245 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ)
7 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
87eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
9 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
11 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
13 rsp 3229 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
1410, 12, 13sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
1512, 2eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzfz2 13458 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
188, 14, 17rspcdva 3584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
197eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
20 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝑀...π‘˜) = (𝑀...𝑗))
21 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
2320, 22raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›)))
242uztrn2 12790 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2623, 10, 25rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
27 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
28 elfzuzb 13444 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
2915, 27, 28sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗))
3019, 26, 29rspcdva 3584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
31 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
33 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3433, 2eleq2s 2852 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3534ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
36 rsp 3229 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
3732, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
38 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣))
3938breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
40 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
4140breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
4239, 41rspc2va 3593 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
4318, 30, 37, 42syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
44 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
46 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
48 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
4947, 11, 48syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
50 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
5147, 24, 50syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
52 metcl 23708 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
5345, 49, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
54 1rp 12927 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
55 rphalfcl 12950 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℝ+
57 rpexpcl 13995 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5856, 35, 57sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5958rpred 12965 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
60 rpre 12931 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
62 lttr 11239 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6353, 59, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6443, 63mpand 694 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6564anassrs 469 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6665ralrimdva 3148 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
6766reximdva 3162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 ((1 / 2)β†‘π‘˜) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
686, 67mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ)
6968ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ)
70 metxmet 23710 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7144, 70syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
72 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
73 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
742, 71, 1, 72, 73, 46iscauf 24667 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘Ÿ))
7569, 74mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   < clt 11197   / cdiv 11820  2c2 12216  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  ...cfz 13433  β†‘cexp 13976  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805  MetOpencmopn 20809  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  iscmet3  24680
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