Theorem r1fin 9773

Description: The first ω stages of the cumulative hierarchy of sets are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1fin	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘∅))
2	1	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝑚))
4	3	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
5		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
6	5	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝐴))
8	7	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin))
9		r10 9768	. . 3 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10		0fi 9063	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2857	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12		pwfi 9303	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin)
13		r1dmlim 9765	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
14		limomss 7880	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
16	15	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
17		r1sucg 9769	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
19	18	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
20	12, 19	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
21	20	biimpd 232	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
22	2, 4, 6, 8, 11, 21	finds 7906	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  dom cdm 5651  Lim wlim 6362  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  ωcom 7875  Fincfn 8966  𝑅₁cr1 9759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-r1 9761

This theorem is used by:  hffi  9902  ackbij2lem2  10310  ackbij2  10313  kardnnfi  35820