MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1fin 9402
Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6726 . . 3 (𝑛 = ∅ → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘∅))
21eleq1d 2823 . 2 (𝑛 = ∅ → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3 fveq2 6726 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝑚))
43eleq1d 2823 . 2 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
5 fveq2 6726 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
65eleq1d 2823 . 2 (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7 fveq2 6726 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝐴))
87eleq1d 2823 . 2 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝐴) ∈ Fin))
9 r10 9397 . . 3 (𝑅1‘∅) = ∅
10 0fin 8860 . . 3 ∅ ∈ Fin
119, 10eqeltri 2835 . 2 (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12 pwfi 8867 . . . 4 ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin)
13 r1funlim 9395 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1413simpri 489 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
15 limomss 7658 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
1716sseli 3905 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
18 r1sucg 9398 . . . . . 6 (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
2019eleq1d 2823 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
2112, 20bitr4id 293 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
2221biimpd 232 . 2 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 7685 1 (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2111  wss 3875  c0 4246  𝒫 cpw 4522  dom cdm 5560  Lim wlim 6223  suc csuc 6224  Fun wfun 6383  cfv 6389  ωcom 7653  Fincfn 8635  𝑅1cr1 9391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-om 7654  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-en 8636  df-fin 8639  df-r1 9393
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  9867  ackbij2  9870
  Copyright terms: Public domain W3C validator