Theorem r1fin 9661

Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1fin	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6817	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘∅))
2	1	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3		fveq2 6817	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝑚))
4	3	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
5		fveq2 6817	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
6	5	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7		fveq2 6817	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝐴))
8	7	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin))
9		r10 9656	. . 3 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10		0fi 8959	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2827	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12		pwfi 9198	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin)
13		r1funlim 9654	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
14	13	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
15		limomss 7796	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
17	16	sseli 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
18		r1sucg 9657	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
20	19	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
21	12, 20	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
22	21	biimpd 229	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
23	2, 4, 6, 8, 11, 22	finds 7821	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  dom cdm 5611  Lim wlim 6302  suc csuc 6303  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476  ωcom 7791  Fincfn 8864  𝑅₁cr1 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-en 8865  df-dom 8866  df-fin 8868  df-r1 9652

This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  10125  ackbij2  10128  r1omfi  35108