Theorem r1fin 9702

Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1fin	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘∅))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝑚))
4	3	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
5		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
6	5	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝐴))
8	7	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin))
9		r10 9697	. . 3 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10		0fi 8990	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2824	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12		pwfi 9244	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin)
13		r1funlim 9695	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
14	13	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
15		limomss 7827	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
17	16	sseli 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
18		r1sucg 9698	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
20	19	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
21	12, 20	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
22	21	biimpd 229	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
23	2, 4, 6, 8, 11, 22	finds 7852	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  dom cdm 5631  Lim wlim 6321  suc csuc 6322  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  ωcom 7822  Fincfn 8895  𝑅₁cr1 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-r1 9693

This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  10168  ackbij2  10171