Theorem r1fin 9669

Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1fin	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘∅))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝑚))
4	3	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
5		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
6	5	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑛) = (𝑅1‘𝐴))
8	7	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin))
9		r10 9664	. . 3 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10		0fi 8967	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2824	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12		pwfi 9208	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin)
13		r1funlim 9662	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
14	13	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
15		limomss 7804	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
17	16	sseli 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
18		r1sucg 9665	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1‘𝑚))
20	19	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑚) ∈ Fin))
21	12, 20	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
22	21	biimpd 229	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
23	2, 4, 6, 8, 11, 22	finds 7829	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑅1‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  dom cdm 5619  Lim wlim 6308  suc csuc 6309  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  ωcom 7799  Fincfn 8872  𝑅₁cr1 9658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876  df-r1 9660

This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  10133  ackbij2  10136