MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankbnd 9902
Description: The rank of a set is bounded by a bound for the successor of its members. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankbnd (∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rankbnd
StepHypRef Expression
1 rankr1b.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21rankval4 9901 . . 3 (rank‘𝐴) = 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥)
32sseq1i 4008 . 2 ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
4 iunss 5046 . 2 ( 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
53, 4bitr2i 275 1 (∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3463  wss 3947   ciun 4994  suc csuc 6368  cfv 6544  rankcrnk 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-reg 9626  ax-inf2 9675
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-r1 9798  df-rank 9799
This theorem is referenced by:  rankxplim  9913
  Copyright terms: Public domain W3C validator