Theorem rankbnd 9089

Description: The rank of a set is bounded by a bound for the successor of its members. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankbnd	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rankbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9088	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	sseq1i 3879	. 2 ⊢ ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
4		iunss 4831	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
5	3, 4	bitr2i 268	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  Vcvv 3409   ⊆ wss 3823  ∪ ciun 4788  suc csuc 6028  ‘cfv 6185  rankcrnk 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-reg 8849  ax-inf2 8896

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-r1 8985  df-rank 8986

This theorem is referenced by:  rankxplim  9100