MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankbnd 9089
Description: The rank of a set is bounded by a bound for the successor of its members. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankbnd (∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rankbnd
StepHypRef Expression
1 rankr1b.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21rankval4 9088 . . 3 (rank‘𝐴) = 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥)
32sseq1i 3879 . 2 ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
4 iunss 4831 . 2 ( 𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵)
53, 4bitr2i 268 1 (∀𝑥𝐴 suc (rank‘𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wcel 2050  wral 3082  Vcvv 3409  wss 3823   ciun 4788  suc csuc 6028  cfv 6185  rankcrnk 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-reg 8849  ax-inf2 8896
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-r1 8985  df-rank 8986
This theorem is referenced by:  rankxplim  9100
  Copyright terms: Public domain W3C validator