Theorem rankrelp 45710

Description: The rank function preserves ∈. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rankrelp	⊢ rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On)

Proof of Theorem rankrelp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9776	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		rankelb 9806	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (rank‘𝑥) ∈ (rank‘𝑦)))
3		epel 5569	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
4		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ V
5	4	epeli 5568	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝑥) E (rank‘𝑦) ↔ (rank‘𝑥) ∈ (rank‘𝑦))
6	2, 3, 5	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦)))
7	6	rgen 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))
8	7	rgenw 3086	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))
9		df-relp 45693	. 2 ⊢ (rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On) ↔ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))))
10	1, 8, 9	mpbir2an 724	1 ⊢ rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   E cep 5565   “ cima 5669  Oncon0 6367  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745   RelPres wrelp 45692

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9746  df-rank 9747  df-relp 45693

This theorem is used by:  wffr  45711