Theorem rankrelp 44922

Description: The rank function preserves ∈. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rankrelp	⊢ rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On)

Proof of Theorem rankrelp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9765	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		rankelb 9795	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (rank‘𝑥) ∈ (rank‘𝑦)))
3		epel 5549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
4		fvex 6878	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ V
5	4	epeli 5548	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝑥) E (rank‘𝑦) ↔ (rank‘𝑥) ∈ (rank‘𝑦))
6	2, 3, 5	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦)))
7	6	rgen 3048	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))
8	7	rgenw 3050	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))
9		df-relp 44905	. 2 ⊢ (rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On) ↔ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)∀𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)(𝑥 E 𝑦 → (rank‘𝑥) E (rank‘𝑦))))
10	1, 8, 9	mpbir2an 711	1 ⊢ rank RelPres E , E (∪ (𝑅1 “ On), On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  ∪ cuni 4879   class class class wbr 5115   E cep 5545   “ cima 5649  Oncon0 6340  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  𝑅₁cr1 9733  rankcrnk 9734   RelPres wrelp 44904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-r1 9735  df-rank 9736  df-relp 44905

This theorem is referenced by:  wffr  44923