Theorem rankscott 35794

Description: The rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by BTernaryTau, 8-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankscott	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (rank‘Scott 𝐴) = suc ∩ (rank “ 𝐴))

Proof of Theorem rankscott

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9937	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
2	1	necon3bii 3007	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐴 ≠ ∅)
3		n0 4299	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
4	2, 3	sylbb 222	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Scott 𝐴 → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
6	5	scottrankd 9949	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Scott 𝐴 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝑥))
7		elscottrank 35787	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Scott 𝐴 → (rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴))
8	7	suceqd 6430	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Scott 𝐴 → suc (rank‘𝑥) = suc ∩ (rank “ 𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Scott 𝐴 → (rank‘Scott 𝐴) = suc ∩ (rank “ 𝐴))
10	9	exlimiv 1962	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴 → (rank‘Scott 𝐴) = suc ∩ (rank “ 𝐴))
11	4, 10	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (rank‘Scott 𝐴) = suc ∩ (rank “ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ∩ cint 4906   “ cima 5653  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  rankcrnk 9767  Scott cscott 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929

This theorem is used by: (None)