Theorem scottrankd 9979

Description: Rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scottrankd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scottrankd	⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Proof of Theorem scottrankd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottex 9963	. . . 4 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9914	. . 3 ⊢ (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
4		scottrankd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
7	5, 6	scottelrankd 9978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) ⊆ (rank‘𝑥))
8	6, 5	scottelrankd 9978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝐵))
9	7, 8	eqssd 3930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) = (rank‘𝑥))
10	9	suceqd 6451	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝑥))
11	10	iuneq2dv 4979	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
12	4	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
13		iunconst 4964	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
15	3, 11, 14	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ∪ ciun 4954  suc csuc 6385  ‘cfv 6561  rankcrnk 9797  Scott cscott 9958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-reg 9616  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799  df-scott 9959

This theorem is used by:  rankscott  35851  rankscottu  35852  gruscottcld  45436