Theorem scottrankd 9930

Description: Rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scottrankd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scottrankd	⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Proof of Theorem scottrankd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottex 9914	. . . 4 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9865	. . 3 ⊢ (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
4		scottrankd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
7	5, 6	scottelrankd 9929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) ⊆ (rank‘𝑥))
8	6, 5	scottelrankd 9929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝐵))
9	7, 8	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) = (rank‘𝑥))
10	9	suceqd 6423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝑥))
11	10	iuneq2dv 4976	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
12	4	ne0d 4288	. . 3 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
13		iunconst 4961	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
15	3, 11, 14	3eqtr2d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  suc csuc 6357  ‘cfv 6531  rankcrnk 9751  Scott cscott 9909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910

This theorem is used by:  rankscott  35730  rankscottu  35731  gruscottcld  45192