Theorem scottrankd 43750

Description: Rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scottrankd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scottrankd	⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Proof of Theorem scottrankd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottex2 43747	. . . 4 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9890	. . 3 ⊢ (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
4		scottrankd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
5	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
6		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
7	5, 6	scottelrankd 43749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) ⊆ (rank‘𝑥))
8	6, 5	scottelrankd 43749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝐵))
9	7, 8	eqssd 3990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) = (rank‘𝑥))
10	9	suceqd 43706	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝑥))
11	10	iuneq2dv 5015	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
12	4	ne0d 4331	. . 3 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
13		iunconst 5000	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
15	3, 11, 14	3eqtr2d 2771	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∅c0 4318  ∪ ciun 4991  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  rankcrnk 9786  Scott cscott 43737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-reg 9615  ax-inf2 9664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-r1 9787  df-rank 9788  df-scott 43738

This theorem is referenced by:  gruscottcld  43751