Theorem scottrankd 44221

Description: Rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scottrankd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scottrankd	⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Proof of Theorem scottrankd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottex2 44218	. . . 4 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9782	. . 3 ⊢ (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
4		scottrankd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
7	5, 6	scottelrankd 44220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) ⊆ (rank‘𝑥))
8	6, 5	scottelrankd 44220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝐵))
9	7, 8	eqssd 3955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) = (rank‘𝑥))
10	9	suceqd 6378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝑥))
11	10	iuneq2dv 4969	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
12	4	ne0d 4295	. . 3 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
13		iunconst 4954	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
15	3, 11, 14	3eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286  ∪ ciun 4944  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  rankcrnk 9678  Scott cscott 44208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-r1 9679  df-rank 9680  df-scott 44209

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44222