Theorem scottrankd 42997

Description: Rank of a nonempty Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scottrankd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scottrankd	⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Proof of Theorem scottrankd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottex2 42994	. . . 4 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
2	1	rankval4 9861	. . 3 ⊢ (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
4		scottrankd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
7	5, 6	scottelrankd 42996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) ⊆ (rank‘𝑥))
8	6, 5	scottelrankd 42996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝐵))
9	7, 8	eqssd 3999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → (rank‘𝐵) = (rank‘𝑥))
10	9	suceqd 42953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ Scott 𝐴) → suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝑥))
11	10	iuneq2dv 5021	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝑥))
12	4	ne0d 4335	. . 3 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
13		iunconst 5006	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ Scott 𝐴 suc (rank‘𝐵) = suc (rank‘𝐵))
15	3, 11, 14	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  ∪ ciun 4997  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  rankcrnk 9757  Scott cscott 42984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-reg 9586  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-r1 9758  df-rank 9759  df-scott 42985

This theorem is referenced by:  gruscottcld  42998