Theorem ssequn1 4187

Description: A relationship between subclass and union. Theorem 26 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssequn1	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem ssequn1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bicom 225	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		pm4.72 964	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)))
3		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	bibi1i 341	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	1, 2, 4	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		df-ss 3901	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8		dfcleq 2756	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	6, 7, 8	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-ss 3901  df-un 4154

This theorem is used by:  ssequn2  4190  undif  4441  uniop  5493  pwssun  5548  cnvimassrndmOLD  6213  unisucg  6464  ordssun  6488  ordequn  6489  onunel  6491  onun2  6494  funiunfv  7278  sorpssun  7773  ordunpr  7864  onuninsuci  7878  omun  7926  domss2  9186  findcard2s  9212  sucdom2  9249  rankopb  9896  ranksuc  9912  hfunOLD  9949  kmlem11  10269  fin1a2lem10  10517  trclublem  15180  trclubi  15181  trclub  15183  reltrclfv  15202  modfsummods  15992  cvgcmpce  16017  mreexexlem3d  17852  dprd2da  20291  dpjcntz  20301  dpjdisj  20302  dpjlsm  20303  dpjidcl  20307  ablfac1eu  20322  perfcls  23716  dfconn2  23770  comppfsc  23884  llycmpkgen2  23902  trfil2  24239  fixufil  24274  tsmsres  24496  ustssco  24567  ustuqtop1  24593  xrge0gsumle  25186  volsup  25910  mbfss  26000  itg2cnlem2  26116  iblss2  26159  vieta1lem2  26667  amgm  27351  wilthlem2  27429  ftalem3  27435  rpvmasum2  27872  noetalem1  28131  madeoldsuc  28304  iuninc  33230  pmtrcnel  33726  pmtrcnelor  33728  hgt750lemb  35368  ordunmax  35805  rankaltopb  36935  bj-prmoore  38240  nacsfix  43927  cantnfresb  44529  omabs2  44537  onsucunipr  44577  oaun2  44586  oaun3  44587  fvnonrel  44800  rclexi  44818  rtrclex  44820  trclubgNEW  44821  trclubNEW  44822  dfrtrcl5  44832  trrelsuperrel2dg  44874  iunrelexp0  44905  corcltrcl  44942  isotone1  45251  tmachlem-agreeprod  48162  aacllem  51251