Theorem ssequn1 4140

Description: A relationship between subclass and union. Theorem 26 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssequn1	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem ssequn1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bicom 222	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		pm4.72 952	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)))
3		elun 4107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	bibi1i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	1, 2, 4	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		df-ss 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8		dfcleq 2730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-v 3444  df-un 3908  df-ss 3920

This theorem is referenced by:  ssequn2  4143  undif  4436  uniop  5471  pwssun  5524  cnvimassrndm  6118  unisucg  6405  ordssun  6429  ordequn  6430  onunel  6432  onun2  6435  funiunfv  7204  sorpssun  7685  ordunpr  7778  onuninsuci  7792  omun  7840  domss2  9076  findcard2s  9102  sucdom2  9139  rankopb  9776  ranksuc  9789  kmlem11  10083  fin1a2lem10  10331  trclublem  14930  trclubi  14931  trclub  14933  reltrclfv  14952  modfsummods  15728  cvgcmpce  15753  mreexexlem3d  17581  dprd2da  19985  dpjcntz  19995  dpjdisj  19996  dpjlsm  19997  dpjidcl  20001  ablfac1eu  20016  perfcls  23321  dfconn2  23375  comppfsc  23488  llycmpkgen2  23506  trfil2  23843  fixufil  23878  tsmsres  24100  ustssco  24171  ustuqtop1  24197  xrge0gsumle  24790  volsup  25525  mbfss  25615  itg2cnlem2  25731  iblss2  25775  vieta1lem2  26287  amgm  26969  wilthlem2  27047  ftalem3  27053  rpvmasum2  27491  noetalem1  27721  madeoldsuc  27893  iuninc  32646  pmtrcnel  33182  pmtrcnelor  33184  hgt750lemb  34833  rankaltopb  36192  hfun  36391  bj-prmoore  37365  nacsfix  43066  cantnfresb  43678  omabs2  43686  onsucunipr  43726  oaun2  43735  oaun3  43736  fvnonrel  43950  rclexi  43968  rtrclex  43970  trclubgNEW  43971  trclubNEW  43972  dfrtrcl5  43982  trrelsuperrel2dg  44024  iunrelexp0  44055  corcltrcl  44092  isotone1  44401  aacllem  50157