Theorem rankr1b 9858

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1a 9830 for the membership version. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankr1b	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 9761	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
2	1	fndmi 6646	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
3	2	eleq2i 2819	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		unir1 9807	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	4, 5	eleqtrri 2826	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
7		rankr1bg 9797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
8	6, 7	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
9	3, 8	sylbir 234	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  dom cdm 5669   “ cima 5672  Oncon0 6357  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9756  rankcrnk 9757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-r1 9758  df-rank 9759

This theorem is referenced by: (None)