Theorem rankr1b 9339

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1a 9311 for the membership version. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankr1b	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 9242	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
2	1	fndmi 6442	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
3	2	eleq2i 2843	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		unir1 9288	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	4, 5	eleqtrri 2851	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
7		rankr1bg 9278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
8	6, 7	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
9	3, 8	sylbir 238	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801  dom cdm 5528   “ cima 5531  Oncon0 6174  ‘cfv 6340  𝑅₁cr1 9237  rankcrnk 9238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-reg 9102  ax-inf2 9150

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-r1 9239  df-rank 9240

This theorem is referenced by: (None)