Theorem rankr1b 9895

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1a 9867 for the membership version. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankr1b	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 9798	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
2	1	fndmi 6663	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
3	2	eleq2i 2821	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		unir1 9844	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
6	4, 5	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
7		rankr1bg 9834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
8	6, 7	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
9	3, 8	sylbir 234	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4912  dom cdm 5682   “ cima 5685  Oncon0 6374  ‘cfv 6553  𝑅₁cr1 9793  rankcrnk 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9623  ax-inf2 9672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-r1 9795  df-rank 9796

This theorem is referenced by: (None)