Theorem rankuniss 9842

Description: Upper bound of the rank of a union. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankuniss	⊢ (rank‘∪ 𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankuniss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9839	. 2 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9771	. . . 4 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6463	. . 3 ⊢ Ord (rank‘𝐴)
4		orduniss 6449	. . 3 ⊢ (Ord (rank‘𝐴) → ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6	1, 5	eqsstri 4011	1 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3472   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4900  Ord word 6351  ‘cfv 6531  rankcrnk 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-reg 9568  ax-inf2 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7395  df-om 7838  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-r1 9740  df-rank 9741

This theorem is referenced by:  rankc1  9846  rankxpl  9851