Theorem rankuniss 9841

Description: Upper bound of the rank of a union. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankuniss	⊢ (rank‘∪ 𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)

Proof of Theorem rankuniss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9838	. 2 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9770	. . . 4 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6478	. . 3 ⊢ Ord (rank‘𝐴)
4		orduniss 6464	. . 3 ⊢ (Ord (rank‘𝐴) → ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6	1, 5	eqsstri 3991	1 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)

Syntax hints:   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4877  Ord word 6363  ‘cfv 6540  rankcrnk 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-reg 9557  ax-inf2 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-r1 9739  df-rank 9740

This theorem is referenced by:  rankc1  9845  rankxpl  9850