Theorem resubid 42399

Description: Subtraction of a real number from itself (compare subid 11371). (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resubid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 −ℝ 𝐴) = 0)

Proof of Theorem resubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		re0m0e0 42392	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
2	1	oveq2i 7351	. 2 ⊢ (𝐴 · (0 −ℝ 0)) = (𝐴 · 0)
3		sn-00idlem1 42388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 −ℝ 0)) = (𝐴 −ℝ 𝐴))
4		remul01 42397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
5	2, 3, 4	3eqtr3a 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 −ℝ 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997   · cmul 11002   −_ℝ cresub 42355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-ltxr 11142  df-2 12179  df-3 12180  df-resub 42356

This theorem is referenced by:  readdrid  42400  reposdif  42445  relt0neg2  42447