Theorem mulgt0b2d 39912

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 10741. The second factor is positive iff the product is. Note that the commuted form cannot be proven since resubdi 39861 does not have a commuted form. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mulgt0b2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulgt0d 10818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	8	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		1re 10664	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		rernegcl 39836	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
14	3, 13	remulcld 10694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
16	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
17	1	recnd 10692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	3	recnd 10692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13	recnd 10692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	mulassd 10687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))))
21	20	breq1d 5035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0))
22	21	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0)
23	10, 15, 16, 22	mulgt0con2d 39911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0)
24	23	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
25	1, 3	remulcld 10694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26		relt0neg2 39908	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28		0red 10667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		1red 10665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
30		resubdi 39861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (((𝐴 · 𝐵) · 0) −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (((𝐴 · 𝐵) · 0) −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
32		remul01 39872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 0) = 0)
33		ax-1rid 10630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
34	32, 33	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (((𝐴 · 𝐵) · 0) −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 0) −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
36	31, 35	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
37	36	breq1d 5035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
38	27, 37	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0))
39		relt0neg2 39908	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
40	3, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
41		resubdi 39861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · 1)))
42	3, 28, 29, 41	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · 1)))
43		remul01 39872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
44		ax-1rid 10630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
45	43, 44	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
46	3, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 0) −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
47	42, 46	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
48	47	breq1d 5035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
49	40, 48	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
50	24, 38, 49	3imtr4d 298	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
51	9, 50	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561   · cmul 10565   < clt 10698   −_ℝ cresub 39830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-ltxr 10703  df-2 11722  df-3 11723  df-resub 39831

This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  39913