Theorem mulgt0b2d 42454

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11211. The first factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b2d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
6		mulgt0b2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 5, 7	mulgt0d 11289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	1, 3	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	12	gt0ne0d 11702	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		remul01 42383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 0) = 0)
18	14, 17	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
19	13, 18	mteqand 3016	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
20	11, 19	sn-rereccld 42424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
21	3, 6	sn-recgt0d 42453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
23	10, 20, 12, 22	mulgt0d 11289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)))
24	15	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	11	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	20	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))))
28	6	gt0ne0d 11702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
29	3, 28	rerecid 42425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
30	29	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
32		ax-1rid 11098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	15, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	27, 31, 33	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = 𝐴)
35	23, 34	breqtrd 5121	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < 𝐴)
36	8, 35	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   /_ℝ crediv 42416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-2 12209  df-3 12210  df-resub 42342  df-rediv 42417

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42458