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Theorem mulgt0b2d 39572
Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 10711. The second factor is positive iff the product is. Note that the commuted form cannot be proven since resubdi 39521 does not have a commuted form. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgt0b2d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mulgt0b2d (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d
StepHypRef Expression
1 mulgt0b2d.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 mulgt0b2d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 mulgt0b2d.1 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐴)
65adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
82, 4, 6, 7mulgt0d 10788 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
98ex 416 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
101adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 1re 10634 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
12 rernegcl 39496 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℝ)
1311, 12mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℝ)
143, 13remulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · (0 − 1)) ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0) → (𝐵 · (0 − 1)) ∈ ℝ)
165adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
171recnd 10662 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
183recnd 10662 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1913recnd 10662 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℂ)
2017, 18, 19mulassd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 − 1))))
2120breq1d 5043 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 − 1))) < 0))
2221biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 − 1))) < 0)
2310, 15, 16, 22mulgt0con2d 39571 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0) → (𝐵 · (0 − 1)) < 0)
2423ex 416 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0 → (𝐵 · (0 − 1)) < 0))
251, 3remulcld 10664 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26 relt0neg2 39568 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 − (𝐴 · 𝐵)) < 0))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 − (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28 0red 10637 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29 1red 10635 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
30 resubdi 39521 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) · 0) − ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) · 0) − ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
32 remul01 39532 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 0) = 0)
33 ax-1rid 10600 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
3432, 33oveq12d 7157 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (((𝐴 · 𝐵) · 0) − ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
3525, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 0) − ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
3631, 35eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
3736breq1d 5043 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0 ↔ (0 − (𝐴 · 𝐵)) < 0))
3827, 37bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 − 1)) < 0))
39 relt0neg2 39568 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < 0))
403, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < 0))
41 resubdi 39521 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · (0 − 1)) = ((𝐵 · 0) − (𝐵 · 1)))
423, 28, 29, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · (0 − 1)) = ((𝐵 · 0) − (𝐵 · 1)))
43 remul01 39532 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
44 ax-1rid 10600 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
4543, 44oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐵 · 0) − (𝐵 · 1)) = (0 − 𝐵))
463, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 0) − (𝐵 · 1)) = (0 − 𝐵))
4742, 46eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · (0 − 1)) = (0 − 𝐵))
4847breq1d 5043 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (0 − 1)) < 0 ↔ (0 − 𝐵) < 0))
4940, 48bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 − 1)) < 0))
5024, 38, 493imtr4d 297 . 2 (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
519, 50impbid 215 1 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668   cresub 39490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  39573
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