Theorem mulgt0b2d 43366

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11311. The first factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b2d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
6		mulgt0b2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 5, 7	mulgt0d 11389	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	1, 3	remulcld 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	12	gt0ne0d 11802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		remul01 43282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 0) = 0)
18	14, 17	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
19	13, 18	mteqand 3046	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
20	11, 19	sn-rereccld 43330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
21	3, 6	sn-recgt0d 43365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
23	10, 20, 12, 22	mulgt0d 11389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)))
24	15	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	11	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	20	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))))
28	6	gt0ne0d 11802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
29	3, 28	rerecidd 43332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
30	29	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
32		ax-1rid 11194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	15, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	27, 31, 33	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = 𝐴)
35	23, 34	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < 𝐴)
36	8, 35	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   /_ℝ crediv 43315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 43241  df-rediv 43316

This theorem is used by:  mulltgt0d  43370