Theorem mulgt0b2d 42733

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11210. The first factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b2d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
6		mulgt0b2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 5, 7	mulgt0d 11288	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	1, 3	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	12	gt0ne0d 11701	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		remul01 42662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 0) = 0)
18	14, 17	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
19	13, 18	mteqand 3023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
20	11, 19	sn-rereccld 42703	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
21	3, 6	sn-recgt0d 42732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
23	10, 20, 12, 22	mulgt0d 11288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)))
24	15	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	11	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	20	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))))
28	6	gt0ne0d 11701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
29	3, 28	rerecid 42704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
30	29	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
32		ax-1rid 11096	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	15, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	27, 31, 33	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = 𝐴)
35	23, 34	breqtrd 5124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < 𝐴)
36	8, 35	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   /_ℝ crediv 42695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-2 12208  df-3 12209  df-resub 42621  df-rediv 42696

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42737