Theorem mulgt0b2d 42845

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11222. The first factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b2d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
6		mulgt0b2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 5, 7	mulgt0d 11300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	1, 3	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	12	gt0ne0d 11713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		remul01 42774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 0) = 0)
18	14, 17	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
19	13, 18	mteqand 3024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
20	11, 19	sn-rereccld 42815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
21	3, 6	sn-recgt0d 42844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (1 /ℝ 𝐵))
23	10, 20, 12, 22	mulgt0d 11300	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)))
24	15	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	11	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	20	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))))
28	6	gt0ne0d 11713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
29	3, 28	rerecid 42816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
30	29	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 1))
32		ax-1rid 11108	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	15, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	27, 31, 33	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 /ℝ 𝐵)) = 𝐴)
35	23, 34	breqtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < 𝐴)
36	8, 35	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   /_ℝ crediv 42807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-2 12220  df-3 12221  df-resub 42733  df-rediv 42808

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42849