Theorem reopn 46578

Description: The reals are open with respect to the standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
reopn	⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem reopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 25135	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 25136	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	topopn 23279	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ran crn 5659  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  (,)cioo 13516  topGenctg 17658  Topctop 23266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520  df-topgen 17664  df-top 23267  df-bases 23319

This theorem is used by:  fperdvper  47202  dirkeritg  47385  etransclem2  47519  etransclem23  47540  etransclem35  47552  etransclem38  47555  etransclem39  47556  etransclem44  47561  etransclem45  47562  etransclem47  47564