Theorem reopn 41629

Description: The reals are open with respect to the standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
reopn	⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem reopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23365	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23366	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	topopn 21509	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ran crn 5549  ‘cfv 6348  ℝcr 10529  (,)cioo 12732  topGenctg 16706  Topctop 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-ioo 12736  df-topgen 16712  df-top 21497  df-bases 21549

This theorem is referenced by:  fperdvper  42277  dirkeritg  42461  etransclem2  42595  etransclem23  42616  etransclem35  42628  etransclem38  42631  etransclem39  42632  etransclem44  42637  etransclem45  42638  etransclem47  42640