Theorem reopn 45287

Description: The reals are open with respect to the standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
reopn	⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem reopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24649	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24650	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	topopn 22793	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ran crn 5639  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  (,)cioo 13306  topGenctg 17400  Topctop 22780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310  df-topgen 17406  df-top 22781  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  fperdvper  45917  dirkeritg  46100  etransclem2  46234  etransclem23  46255  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem39  46271  etransclem44  46276  etransclem45  46277  etransclem47  46279