Theorem reopn 45722

Description: The reals are open with respect to the standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
reopn	⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem reopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24726	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24727	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	topopn 22871	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ran crn 5632  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  Topctop 22858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-top 22859  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  fperdvper  46347  dirkeritg  46530  etransclem2  46664  etransclem23  46685  etransclem35  46697  etransclem38  46700  etransclem39  46701  etransclem44  46706  etransclem45  46707  etransclem47  46709