Theorem uniretop 24783

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13489	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24781	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22974	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2768	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4907  ran crn 5686  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  TopBasesctb 22952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  retopon  24784  retps  24785  icccld  24787  icopnfcld  24788  iocmnfcld  24789  qdensere  24790  zcld  24835  iccntr  24843  icccmp  24847  retopconn  24851  opnreen  24853  rectbntr0  24854  cnmpopc  24955  evth  24991  evth2  24992  evthicc  25494  ovolicc2  25557  opnmbllem  25636  lhop  26055  dvcnvrelem2  26057  dvcnvre  26058  ftc1  26083  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  ipasslem8  30856  circtopn  33836  tpr2rico  33911  rrhf  33999  rrhqima  34015  rrhre  34022  brsigarn  34185  unibrsiga  34187  sxbrsigalem3  34274  dya2iocucvr  34286  sxbrsigalem1  34287  orrvcval4  34467  orrvcoel  34468  orrvccel  34469  retopsconn  35254  cvmliftlem10  35299  ivthALT  36336  ptrecube  37627  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  poimirlem31  37658  opnmbllem0  37663  mblfinlem1  37664  mblfinlem2  37665  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  ftc1cnnc  37699  readvrec2  42391  refsum2cnlem1  45042  sncldre  45049  reopn  45301  ioontr  45524  limciccioolb  45636  limcicciooub  45652  lptre2pt  45655  limclner  45666  limclr  45670  cncfiooicclem1  45908  fperdvper  45934  itgsubsticclem  45990  stoweidlem62  46077  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem3  46120  dirkercncflem4  46121  fourierdlem42  46164  fourierdlem58  46179  fourierdlem73  46194  fouriercnp  46241  fouriercn  46247  cnfsmf  46755  incsmf  46757  decsmf  46782  smfpimbor1lem2  46814