Theorem uniretop 24888

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13476	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24886	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23093	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2795	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4874  ran crn 5663  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  (,)cioo 13372  topGenctg 17490  TopBasesctb 23071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ioo 13376  df-topgen 17496  df-bases 23072

This theorem is referenced by:  retopon  24889  retps  24890  icccld  24892  icopnfcld  24893  iocmnfcld  24894  qdensere  24895  zcld  24940  iccntr  24948  icccmp  24952  retopconn  24956  opnreen  24958  rectbntr0  24959  cnmpopc  25056  evth  25087  evth2  25088  evthicc  25587  ovolicc2  25650  opnmbllem  25729  lhop  26144  dvcnvrelem2  26146  dvcnvre  26147  ftc1  26170  taylthlem2  26503  ipasslem8  31130  circtopn  34172  tpr2rico  34247  rrhf  34333  rrhqima  34349  rrhre  34356  brsigarn  34519  unibrsiga  34521  sxbrsigalem3  34607  dya2iocucvr  34619  sxbrsigalem1  34620  orrvcval4  34800  orrvcoel  34801  orrvccel  34802  retopsconn  35674  cvmliftlem10  35719  ivthALT  36769  ptrecube  38194  poimirlem29  38223  poimirlem30  38224  poimirlem31  38225  opnmbllem0  38230  mblfinlem1  38231  mblfinlem2  38232  mblfinlem3  38233  mblfinlem4  38234  ismblfin  38235  ftc1cnnc  38266  readvrec2  43047  refsum2cnlem1  45684  sncldre  45691  reopn  45935  ioontr  46154  limciccioolb  46264  limcicciooub  46278  lptre2pt  46281  limclner  46292  limclr  46296  cncfiooicclem1  46534  fperdvper  46560  itgsubsticclem  46616  stoweidlem62  46703  dirkercncflem2  46745  dirkercncflem3  46746  dirkercncflem4  46747  fourierdlem42  46790  fourierdlem58  46805  fourierdlem73  46820  fouriercnp  46867  fouriercn  46873  cnfsmf  47381  incsmf  47383  decsmf  47408  smfpimbor1lem2  47440