Theorem uniretop 23371

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 12838	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 23369	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 21575	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2847	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4838  ran crn 5556  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  (,)cioo 12739  topGenctg 16711  TopBasesctb 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ioo 12743  df-topgen 16717  df-bases 21554

This theorem is referenced by:  retopon  23372  retps  23373  icccld  23375  icopnfcld  23376  iocmnfcld  23377  qdensere  23378  zcld  23421  iccntr  23429  icccmp  23433  retopconn  23437  opnreen  23439  rectbntr0  23440  cnmpopc  23532  evth  23563  evth2  23564  evthicc  24060  ovolicc2  24123  opnmbllem  24202  lhop  24613  dvcnvrelem2  24615  dvcnvre  24616  ftc1  24639  taylthlem2  24962  ipasslem8  28614  circtopn  31101  tpr2rico  31155  rrhf  31239  rrhqima  31255  rrhre  31262  brsigarn  31443  unibrsiga  31445  sxbrsigalem3  31530  dya2iocucvr  31542  sxbrsigalem1  31543  orrvcval4  31722  orrvcoel  31723  orrvccel  31724  retopsconn  32496  cvmliftlem10  32541  ivthALT  33683  ptrecube  34907  poimirlem29  34936  poimirlem30  34937  poimirlem31  34938  opnmbllem0  34943  mblfinlem1  34944  mblfinlem2  34945  mblfinlem3  34946  mblfinlem4  34947  ismblfin  34948  ftc1cnnc  34981  refsum2cnlem1  41314  sncldre  41324  reopn  41575  ioontr  41807  limciccioolb  41922  limcicciooub  41938  lptre2pt  41941  limclner  41952  limclr  41956  cncfiooicclem1  42196  fperdvper  42223  itgsubsticclem  42280  stoweidlem62  42367  dirkercncflem2  42409  dirkercncflem3  42410  dirkercncflem4  42411  fourierdlem42  42454  fourierdlem58  42469  fourierdlem73  42484  fouriercnp  42531  fouriercn  42537  cnfsmf  43037  incsmf  43039  decsmf  43063  smfpimbor1lem2  43094