Theorem uniretop 24271

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13423	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24269	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22462	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2764	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4908  ran crn 5677  ‘cfv 6541  ℝcr 11106  (,)cioo 13321  topGenctg 17380  TopBasesctb 22440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ioo 13325  df-topgen 17386  df-bases 22441

This theorem is referenced by:  retopon  24272  retps  24273  icccld  24275  icopnfcld  24276  iocmnfcld  24277  qdensere  24278  zcld  24321  iccntr  24329  icccmp  24333  retopconn  24337  opnreen  24339  rectbntr0  24340  cnmpopc  24436  evth  24467  evth2  24468  evthicc  24968  ovolicc2  25031  opnmbllem  25110  lhop  25525  dvcnvrelem2  25527  dvcnvre  25528  ftc1  25551  taylthlem2  25878  ipasslem8  30078  circtopn  32806  tpr2rico  32881  rrhf  32967  rrhqima  32983  rrhre  32990  brsigarn  33171  unibrsiga  33173  sxbrsigalem3  33260  dya2iocucvr  33272  sxbrsigalem1  33273  orrvcval4  33452  orrvcoel  33453  orrvccel  33454  retopsconn  34229  cvmliftlem10  34274  ivthALT  35209  ptrecube  36477  poimirlem29  36506  poimirlem30  36507  poimirlem31  36508  opnmbllem0  36513  mblfinlem1  36514  mblfinlem2  36515  mblfinlem3  36516  mblfinlem4  36517  ismblfin  36518  ftc1cnnc  36549  refsum2cnlem1  43707  sncldre  43715  reopn  43986  ioontr  44211  limciccioolb  44324  limcicciooub  44340  lptre2pt  44343  limclner  44354  limclr  44358  cncfiooicclem1  44596  fperdvper  44622  itgsubsticclem  44678  stoweidlem62  44765  dirkercncflem2  44807  dirkercncflem3  44808  dirkercncflem4  44809  fourierdlem42  44852  fourierdlem58  44867  fourierdlem73  44882  fouriercnp  44929  fouriercn  44935  cnfsmf  45443  incsmf  45445  decsmf  45470  smfpimbor1lem2  45502