Theorem uniretop 24683

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13386	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24681	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22887	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2755	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4867  ran crn 5632  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  TopBasesctb 22865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-bases 22866

This theorem is referenced by:  retopon  24684  retps  24685  icccld  24687  icopnfcld  24688  iocmnfcld  24689  qdensere  24690  zcld  24735  iccntr  24743  icccmp  24747  retopconn  24751  opnreen  24753  rectbntr0  24754  cnmpopc  24855  evth  24891  evth2  24892  evthicc  25393  ovolicc2  25456  opnmbllem  25535  lhop  25954  dvcnvrelem2  25956  dvcnvre  25957  ftc1  25982  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  ipasslem8  30816  circtopn  33820  tpr2rico  33895  rrhf  33981  rrhqima  33997  rrhre  34004  brsigarn  34167  unibrsiga  34169  sxbrsigalem3  34256  dya2iocucvr  34268  sxbrsigalem1  34269  orrvcval4  34449  orrvcoel  34450  orrvccel  34451  retopsconn  35229  cvmliftlem10  35274  ivthALT  36316  ptrecube  37607  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  opnmbllem0  37643  mblfinlem1  37644  mblfinlem2  37645  mblfinlem3  37646  mblfinlem4  37647  ismblfin  37648  ftc1cnnc  37679  readvrec2  42342  refsum2cnlem1  45024  sncldre  45031  reopn  45280  ioontr  45502  limciccioolb  45612  limcicciooub  45628  lptre2pt  45631  limclner  45642  limclr  45646  cncfiooicclem1  45884  fperdvper  45910  itgsubsticclem  45966  stoweidlem62  46053  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem3  46096  dirkercncflem4  46097  fourierdlem42  46140  fourierdlem58  46155  fourierdlem73  46170  fouriercnp  46217  fouriercn  46223  cnfsmf  46731  incsmf  46733  decsmf  46758  smfpimbor1lem2  46790