Theorem uniretop 23935

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13190	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 23933	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22126	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2770	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4840  ran crn 5591  ‘cfv 6437  ℝcr 10879  (,)cioo 13088  topGenctg 17157  TopBasesctb 22104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-ioo 13092  df-topgen 17163  df-bases 22105

This theorem is referenced by:  retopon  23936  retps  23937  icccld  23939  icopnfcld  23940  iocmnfcld  23941  qdensere  23942  zcld  23985  iccntr  23993  icccmp  23997  retopconn  24001  opnreen  24003  rectbntr0  24004  cnmpopc  24100  evth  24131  evth2  24132  evthicc  24632  ovolicc2  24695  opnmbllem  24774  lhop  25189  dvcnvrelem2  25191  dvcnvre  25192  ftc1  25215  taylthlem2  25542  ipasslem8  29208  circtopn  31796  tpr2rico  31871  rrhf  31957  rrhqima  31973  rrhre  31980  brsigarn  32161  unibrsiga  32163  sxbrsigalem3  32248  dya2iocucvr  32260  sxbrsigalem1  32261  orrvcval4  32440  orrvcoel  32441  orrvccel  32442  retopsconn  33220  cvmliftlem10  33265  ivthALT  34533  ptrecube  35786  poimirlem29  35815  poimirlem30  35816  poimirlem31  35817  opnmbllem0  35822  mblfinlem1  35823  mblfinlem2  35824  mblfinlem3  35825  mblfinlem4  35826  ismblfin  35827  ftc1cnnc  35858  refsum2cnlem1  42587  sncldre  42597  reopn  42835  ioontr  43056  limciccioolb  43169  limcicciooub  43185  lptre2pt  43188  limclner  43199  limclr  43203  cncfiooicclem1  43441  fperdvper  43467  itgsubsticclem  43523  stoweidlem62  43610  dirkercncflem2  43652  dirkercncflem3  43653  dirkercncflem4  43654  fourierdlem42  43697  fourierdlem58  43712  fourierdlem73  43727  fouriercnp  43774  fouriercn  43780  cnfsmf  44285  incsmf  44287  decsmf  44312  smfpimbor1lem2  44344