Theorem uniretop 23832

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13110	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 23830	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22025	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2769	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  (,)cioo 13008  topGenctg 17065  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-topgen 17071  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  retopon  23833  retps  23834  icccld  23836  icopnfcld  23837  iocmnfcld  23838  qdensere  23839  zcld  23882  iccntr  23890  icccmp  23894  retopconn  23898  opnreen  23900  rectbntr0  23901  cnmpopc  23997  evth  24028  evth2  24029  evthicc  24528  ovolicc2  24591  opnmbllem  24670  lhop  25085  dvcnvrelem2  25087  dvcnvre  25088  ftc1  25111  taylthlem2  25438  ipasslem8  29100  circtopn  31689  tpr2rico  31764  rrhf  31848  rrhqima  31864  rrhre  31871  brsigarn  32052  unibrsiga  32054  sxbrsigalem3  32139  dya2iocucvr  32151  sxbrsigalem1  32152  orrvcval4  32331  orrvcoel  32332  orrvccel  32333  retopsconn  33111  cvmliftlem10  33156  ivthALT  34451  ptrecube  35704  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  poimirlem31  35735  opnmbllem0  35740  mblfinlem1  35741  mblfinlem2  35742  mblfinlem3  35743  mblfinlem4  35744  ismblfin  35745  ftc1cnnc  35776  refsum2cnlem1  42469  sncldre  42479  reopn  42717  ioontr  42939  limciccioolb  43052  limcicciooub  43068  lptre2pt  43071  limclner  43082  limclr  43086  cncfiooicclem1  43324  fperdvper  43350  itgsubsticclem  43406  stoweidlem62  43493  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem3  43536  dirkercncflem4  43537  fourierdlem42  43580  fourierdlem58  43595  fourierdlem73  43610  fouriercnp  43657  fouriercn  43663  cnfsmf  44163  incsmf  44165  decsmf  44189  smfpimbor1lem2  44220