Theorem uniretop 24032

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13282	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24030	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22223	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2767	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∪ cuni 4852  ran crn 5621  ‘cfv 6479  ℝcr 10971  (,)cioo 13180  topGenctg 17245  TopBasesctb 22201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-ioo 13184  df-topgen 17251  df-bases 22202

This theorem is referenced by:  retopon  24033  retps  24034  icccld  24036  icopnfcld  24037  iocmnfcld  24038  qdensere  24039  zcld  24082  iccntr  24090  icccmp  24094  retopconn  24098  opnreen  24100  rectbntr0  24101  cnmpopc  24197  evth  24228  evth2  24229  evthicc  24729  ovolicc2  24792  opnmbllem  24871  lhop  25286  dvcnvrelem2  25288  dvcnvre  25289  ftc1  25312  taylthlem2  25639  ipasslem8  29487  circtopn  32085  tpr2rico  32160  rrhf  32246  rrhqima  32262  rrhre  32269  brsigarn  32450  unibrsiga  32452  sxbrsigalem3  32539  dya2iocucvr  32551  sxbrsigalem1  32552  orrvcval4  32731  orrvcoel  32732  orrvccel  32733  retopsconn  33510  cvmliftlem10  33555  ivthALT  34620  ptrecube  35890  poimirlem29  35919  poimirlem30  35920  poimirlem31  35921  opnmbllem0  35926  mblfinlem1  35927  mblfinlem2  35928  mblfinlem3  35929  mblfinlem4  35930  ismblfin  35931  ftc1cnnc  35962  refsum2cnlem1  42909  sncldre  42918  reopn  43171  ioontr  43393  limciccioolb  43506  limcicciooub  43522  lptre2pt  43525  limclner  43536  limclr  43540  cncfiooicclem1  43778  fperdvper  43804  itgsubsticclem  43860  stoweidlem62  43947  dirkercncflem2  43989  dirkercncflem3  43990  dirkercncflem4  43991  fourierdlem42  44034  fourierdlem58  44049  fourierdlem73  44064  fouriercnp  44111  fouriercn  44117  cnfsmf  44623  incsmf  44625  decsmf  44650  smfpimbor1lem2  44682