Theorem uniretop 24667

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13371	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24665	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22871	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2755	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4861  ran crn 5624  ‘cfv 6486  ℝcr 11027  (,)cioo 13267  topGenctg 17360  TopBasesctb 22849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13271  df-topgen 17366  df-bases 22850

This theorem is referenced by:  retopon  24668  retps  24669  icccld  24671  icopnfcld  24672  iocmnfcld  24673  qdensere  24674  zcld  24719  iccntr  24727  icccmp  24731  retopconn  24735  opnreen  24737  rectbntr0  24738  cnmpopc  24839  evth  24875  evth2  24876  evthicc  25377  ovolicc2  25440  opnmbllem  25519  lhop  25938  dvcnvrelem2  25940  dvcnvre  25941  ftc1  25966  taylthlem2  26299  taylthlem2OLD  26300  ipasslem8  30800  circtopn  33823  tpr2rico  33898  rrhf  33984  rrhqima  34000  rrhre  34007  brsigarn  34170  unibrsiga  34172  sxbrsigalem3  34259  dya2iocucvr  34271  sxbrsigalem1  34272  orrvcval4  34452  orrvcoel  34453  orrvccel  34454  retopsconn  35241  cvmliftlem10  35286  ivthALT  36328  ptrecube  37619  poimirlem29  37648  poimirlem30  37649  poimirlem31  37650  opnmbllem0  37655  mblfinlem1  37656  mblfinlem2  37657  mblfinlem3  37658  mblfinlem4  37659  ismblfin  37660  ftc1cnnc  37691  readvrec2  42354  refsum2cnlem1  45035  sncldre  45042  reopn  45291  ioontr  45512  limciccioolb  45622  limcicciooub  45638  lptre2pt  45641  limclner  45652  limclr  45656  cncfiooicclem1  45894  fperdvper  45920  itgsubsticclem  45976  stoweidlem62  46063  dirkercncflem2  46105  dirkercncflem3  46106  dirkercncflem4  46107  fourierdlem42  46150  fourierdlem58  46165  fourierdlem73  46180  fouriercnp  46227  fouriercn  46233  cnfsmf  46741  incsmf  46743  decsmf  46768  smfpimbor1lem2  46800