Theorem uniretop 23054

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 12687	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 23052	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 21259	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2821	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∪ cuni 4747  ran crn 5447  ‘cfv 6228  ℝcr 10385  (,)cioo 12588  topGenctg 16540  TopBasesctb 21237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-po 5365  df-so 5366  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-ioo 12592  df-topgen 16546  df-bases 21238

This theorem is referenced by:  retopon  23055  retps  23056  icccld  23058  icopnfcld  23059  iocmnfcld  23060  qdensere  23061  zcld  23104  iccntr  23112  icccmp  23116  retopconn  23120  opnreen  23122  rectbntr0  23123  cnmpopc  23215  evth  23246  evth2  23247  evthicc  23743  ovolicc2  23806  opnmbllem  23885  lhop  24296  dvcnvrelem2  24298  dvcnvre  24299  ftc1  24322  taylthlem2  24645  ipasslem8  28297  circtopn  30710  tpr2rico  30764  rrhf  30848  rrhqima  30864  rrhre  30871  brsigarn  31052  unibrsiga  31054  sxbrsigalem3  31139  dya2iocucvr  31151  sxbrsigalem1  31152  orrvcval4  31331  orrvcoel  31332  orrvccel  31333  retopsconn  32098  cvmliftlem10  32143  ivthALT  33286  ptrecube  34436  poimirlem29  34465  poimirlem30  34466  poimirlem31  34467  opnmbllem0  34472  mblfinlem1  34473  mblfinlem2  34474  mblfinlem3  34475  mblfinlem4  34476  ismblfin  34477  ftc1cnnc  34510  refsum2cnlem1  40846  sncldre  40856  reopn  41109  ioontr  41342  limciccioolb  41457  limcicciooub  41473  lptre2pt  41476  limclner  41487  limclr  41491  cncfiooicclem1  41731  fperdvper  41758  itgsubsticclem  41815  stoweidlem62  41903  dirkercncflem2  41945  dirkercncflem3  41946  dirkercncflem4  41947  fourierdlem42  41990  fourierdlem58  42005  fourierdlem73  42020  fouriercnp  42067  fouriercn  42073  cnfsmf  42573  incsmf  42575  decsmf  42599  smfpimbor1lem2  42630