Theorem uniretop 24804

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13509	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24802	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22995	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2771	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931  ran crn 5701  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  (,)cioo 13407  topGenctg 17497  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  retopon  24805  retps  24806  icccld  24808  icopnfcld  24809  iocmnfcld  24810  qdensere  24811  zcld  24854  iccntr  24862  icccmp  24866  retopconn  24870  opnreen  24872  rectbntr0  24873  cnmpopc  24974  evth  25010  evth2  25011  evthicc  25513  ovolicc2  25576  opnmbllem  25655  lhop  26075  dvcnvrelem2  26077  dvcnvre  26078  ftc1  26103  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ipasslem8  30869  circtopn  33783  tpr2rico  33858  rrhf  33944  rrhqima  33960  rrhre  33967  brsigarn  34148  unibrsiga  34150  sxbrsigalem3  34237  dya2iocucvr  34249  sxbrsigalem1  34250  orrvcval4  34429  orrvcoel  34430  orrvccel  34431  retopsconn  35217  cvmliftlem10  35262  ivthALT  36301  ptrecube  37580  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  opnmbllem0  37616  mblfinlem1  37617  mblfinlem2  37618  mblfinlem3  37619  mblfinlem4  37620  ismblfin  37621  ftc1cnnc  37652  refsum2cnlem1  44937  sncldre  44944  reopn  45204  ioontr  45429  limciccioolb  45542  limcicciooub  45558  lptre2pt  45561  limclner  45572  limclr  45576  cncfiooicclem1  45814  fperdvper  45840  itgsubsticclem  45896  stoweidlem62  45983  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem3  46026  dirkercncflem4  46027  fourierdlem42  46070  fourierdlem58  46085  fourierdlem73  46100  fouriercnp  46147  fouriercn  46153  cnfsmf  46661  incsmf  46663  decsmf  46688  smfpimbor1lem2  46720