Theorem uniretop 24723

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13461	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24721	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22914	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2756	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4909  ran crn 5679  ‘cfv 6549  ℝcr 11139  (,)cioo 13359  topGenctg 17422  TopBasesctb 22892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-ioo 13363  df-topgen 17428  df-bases 22893

This theorem is referenced by:  retopon  24724  retps  24725  icccld  24727  icopnfcld  24728  iocmnfcld  24729  qdensere  24730  zcld  24773  iccntr  24781  icccmp  24785  retopconn  24789  opnreen  24791  rectbntr0  24792  cnmpopc  24893  evth  24929  evth2  24930  evthicc  25432  ovolicc2  25495  opnmbllem  25574  lhop  25993  dvcnvrelem2  25995  dvcnvre  25996  ftc1  26021  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  ipasslem8  30719  circtopn  33569  tpr2rico  33644  rrhf  33730  rrhqima  33746  rrhre  33753  brsigarn  33934  unibrsiga  33936  sxbrsigalem3  34023  dya2iocucvr  34035  sxbrsigalem1  34036  orrvcval4  34215  orrvcoel  34216  orrvccel  34217  retopsconn  34990  cvmliftlem10  35035  ivthALT  35950  ptrecube  37224  poimirlem29  37253  poimirlem30  37254  poimirlem31  37255  opnmbllem0  37260  mblfinlem1  37261  mblfinlem2  37262  mblfinlem3  37263  mblfinlem4  37264  ismblfin  37265  ftc1cnnc  37296  refsum2cnlem1  44541  sncldre  44548  reopn  44809  ioontr  45034  limciccioolb  45147  limcicciooub  45163  lptre2pt  45166  limclner  45177  limclr  45181  cncfiooicclem1  45419  fperdvper  45445  itgsubsticclem  45501  stoweidlem62  45588  dirkercncflem2  45630  dirkercncflem3  45631  dirkercncflem4  45632  fourierdlem42  45675  fourierdlem58  45690  fourierdlem73  45705  fouriercnp  45752  fouriercn  45758  cnfsmf  46266  incsmf  46268  decsmf  46293  smfpimbor1lem2  46325