Theorem uniretop 24648

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13352	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24646	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22852	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2755	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4858  ran crn 5620  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  (,)cioo 13248  topGenctg 17341  TopBasesctb 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ioo 13252  df-topgen 17347  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  retopon  24649  retps  24650  icccld  24652  icopnfcld  24653  iocmnfcld  24654  qdensere  24655  zcld  24700  iccntr  24708  icccmp  24712  retopconn  24716  opnreen  24718  rectbntr0  24719  cnmpopc  24820  evth  24856  evth2  24857  evthicc  25358  ovolicc2  25421  opnmbllem  25500  lhop  25919  dvcnvrelem2  25921  dvcnvre  25922  ftc1  25947  taylthlem2  26280  taylthlem2OLD  26281  ipasslem8  30781  circtopn  33810  tpr2rico  33885  rrhf  33971  rrhqima  33987  rrhre  33994  brsigarn  34157  unibrsiga  34159  sxbrsigalem3  34246  dya2iocucvr  34258  sxbrsigalem1  34259  orrvcval4  34439  orrvcoel  34440  orrvccel  34441  retopsconn  35232  cvmliftlem10  35277  ivthALT  36319  ptrecube  37610  poimirlem29  37639  poimirlem30  37640  poimirlem31  37641  opnmbllem0  37646  mblfinlem1  37647  mblfinlem2  37648  mblfinlem3  37649  mblfinlem4  37650  ismblfin  37651  ftc1cnnc  37682  readvrec2  42344  refsum2cnlem1  45025  sncldre  45032  reopn  45281  ioontr  45502  limciccioolb  45612  limcicciooub  45628  lptre2pt  45631  limclner  45642  limclr  45646  cncfiooicclem1  45884  fperdvper  45910  itgsubsticclem  45966  stoweidlem62  46053  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem3  46096  dirkercncflem4  46097  fourierdlem42  46140  fourierdlem58  46155  fourierdlem73  46170  fouriercnp  46217  fouriercn  46223  cnfsmf  46731  incsmf  46733  decsmf  46758  smfpimbor1lem2  46790