Theorem uniretop 24279

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13426	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24277	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22470	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2764	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4909  ran crn 5678  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  (,)cioo 13324  topGenctg 17383  TopBasesctb 22448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-bases 22449

This theorem is referenced by:  retopon  24280  retps  24281  icccld  24283  icopnfcld  24284  iocmnfcld  24285  qdensere  24286  zcld  24329  iccntr  24337  icccmp  24341  retopconn  24345  opnreen  24347  rectbntr0  24348  cnmpopc  24444  evth  24475  evth2  24476  evthicc  24976  ovolicc2  25039  opnmbllem  25118  lhop  25533  dvcnvrelem2  25535  dvcnvre  25536  ftc1  25559  taylthlem2  25886  ipasslem8  30090  circtopn  32817  tpr2rico  32892  rrhf  32978  rrhqima  32994  rrhre  33001  brsigarn  33182  unibrsiga  33184  sxbrsigalem3  33271  dya2iocucvr  33283  sxbrsigalem1  33284  orrvcval4  33463  orrvcoel  33464  orrvccel  33465  retopsconn  34240  cvmliftlem10  34285  ivthALT  35220  ptrecube  36488  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  opnmbllem0  36524  mblfinlem1  36525  mblfinlem2  36526  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  ftc1cnnc  36560  refsum2cnlem1  43721  sncldre  43729  reopn  43999  ioontr  44224  limciccioolb  44337  limcicciooub  44353  lptre2pt  44356  limclner  44367  limclr  44371  cncfiooicclem1  44609  fperdvper  44635  itgsubsticclem  44691  stoweidlem62  44778  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem3  44821  dirkercncflem4  44822  fourierdlem42  44865  fourierdlem58  44880  fourierdlem73  44895  fouriercnp  44942  fouriercn  44948  cnfsmf  45456  incsmf  45458  decsmf  45483  smfpimbor1lem2  45515