Theorem uniretop 24741

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13397	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24739	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22946	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851  ran crn 5627  ‘cfv 6494  ℝcr 11032  (,)cioo 13293  topGenctg 17395  TopBasesctb 22924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-ioo 13297  df-topgen 17401  df-bases 22925

This theorem is referenced by:  retopon  24742  retps  24743  icccld  24745  icopnfcld  24746  iocmnfcld  24747  qdensere  24748  zcld  24793  iccntr  24801  icccmp  24805  retopconn  24809  opnreen  24811  rectbntr0  24812  cnmpopc  24909  evth  24940  evth2  24941  evthicc  25440  ovolicc2  25503  opnmbllem  25582  lhop  25997  dvcnvrelem2  25999  dvcnvre  26000  ftc1  26023  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  ipasslem8  30927  circtopn  34001  tpr2rico  34076  rrhf  34162  rrhqima  34178  rrhre  34185  brsigarn  34348  unibrsiga  34350  sxbrsigalem3  34436  dya2iocucvr  34448  sxbrsigalem1  34449  orrvcval4  34629  orrvcoel  34630  orrvccel  34631  retopsconn  35451  cvmliftlem10  35496  ivthALT  36537  ptrecube  37959  poimirlem29  37988  poimirlem30  37989  poimirlem31  37990  opnmbllem0  37995  mblfinlem1  37996  mblfinlem2  37997  mblfinlem3  37998  mblfinlem4  37999  ismblfin  38000  ftc1cnnc  38031  readvrec2  42811  refsum2cnlem1  45490  sncldre  45497  reopn  45744  ioontr  45963  limciccioolb  46073  limcicciooub  46087  lptre2pt  46090  limclner  46101  limclr  46105  cncfiooicclem1  46343  fperdvper  46369  itgsubsticclem  46425  stoweidlem62  46512  dirkercncflem2  46554  dirkercncflem3  46555  dirkercncflem4  46556  fourierdlem42  46599  fourierdlem58  46614  fourierdlem73  46629  fouriercnp  46676  fouriercn  46682  cnfsmf  47190  incsmf  47192  decsmf  47217  smfpimbor1lem2  47249