Theorem uniretop 24989

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13504	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24987	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23193	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2788	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4870  ran crn 5660  ‘cfv 6537  ℝcr 11126  (,)cioo 13400  topGenctg 17526  TopBasesctb 23171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13404  df-topgen 17532  df-bases 23172

This theorem is used by:  retopon  24990  retps  24991  icccld  24993  icopnfcld  24994  iocmnfcld  24995  qdensere  24996  zcld  25041  iccntr  25049  icccmp  25053  retopconn  25057  opnreen  25059  rectbntr0  25060  cnmpopc  25157  evth  25188  evth2  25189  evthicc  25688  ovolicc2  25751  opnmbllem  25830  lhop  26245  dvcnvrelem2  26247  dvcnvre  26248  ftc1  26271  taylthlem2  26607  ipasslem8  31304  circtopn  34334  tpr2rico  34409  rrhf  34495  rrhqima  34511  rrhre  34518  brsigarn  34682  unibrsiga  34684  sxbrsigalem3  34770  dya2iocucvr  34782  sxbrsigalem1  34783  orrvcval4  34963  orrvcoel  34964  orrvccel  34965  retopsconn  35815  cvmliftlem10  35860  ivthALT  36941  ptrecube  38356  poimirlem29  38385  poimirlem30  38386  poimirlem31  38387  opnmbllem0  38392  mblfinlem1  38393  mblfinlem2  38394  mblfinlem3  38395  mblfinlem4  38396  ismblfin  38397  ftc1cnnc  38428  readvrec2  43223  refsum2cnlem1  45858  sncldre  45865  reopn  46109  ioontr  46328  limciccioolb  46438  limcicciooub  46452  lptre2pt  46455  limclner  46466  limclr  46470  cncfiooicclem1  46708  fperdvper  46734  itgsubsticclem  46790  stoweidlem62  46877  dirkercncflem2  46919  dirkercncflem3  46920  dirkercncflem4  46921  fourierdlem42  46964  fourierdlem58  46979  fourierdlem73  46994  fouriercnp  47041  fouriercn  47047  cnfsmf  47555  incsmf  47557  decsmf  47582  smfpimbor1lem2  47614