Theorem uniretop 24798

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13485	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24796	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22989	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2765	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∪ cuni 4911  ran crn 5689  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopBasesctb 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  retopon  24799  retps  24800  icccld  24802  icopnfcld  24803  iocmnfcld  24804  qdensere  24805  zcld  24848  iccntr  24856  icccmp  24860  retopconn  24864  opnreen  24866  rectbntr0  24867  cnmpopc  24968  evth  25004  evth2  25005  evthicc  25507  ovolicc2  25570  opnmbllem  25649  lhop  26069  dvcnvrelem2  26071  dvcnvre  26072  ftc1  26097  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  ipasslem8  30865  circtopn  33797  tpr2rico  33872  rrhf  33960  rrhqima  33976  rrhre  33983  brsigarn  34164  unibrsiga  34166  sxbrsigalem3  34253  dya2iocucvr  34265  sxbrsigalem1  34266  orrvcval4  34445  orrvcoel  34446  orrvccel  34447  retopsconn  35233  cvmliftlem10  35278  ivthALT  36317  ptrecube  37606  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  poimirlem31  37637  opnmbllem0  37642  mblfinlem1  37643  mblfinlem2  37644  mblfinlem3  37645  mblfinlem4  37646  ismblfin  37647  ftc1cnnc  37678  readvrec2  42369  refsum2cnlem1  44974  sncldre  44981  reopn  45239  ioontr  45463  limciccioolb  45576  limcicciooub  45592  lptre2pt  45595  limclner  45606  limclr  45610  cncfiooicclem1  45848  fperdvper  45874  itgsubsticclem  45930  stoweidlem62  46017  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem3  46060  dirkercncflem4  46061  fourierdlem42  46104  fourierdlem58  46119  fourierdlem73  46134  fouriercnp  46181  fouriercn  46187  cnfsmf  46695  incsmf  46697  decsmf  46722  smfpimbor1lem2  46754