Theorem uniretop 24824

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13455	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24822	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23029	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2790	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4867  ran crn 5650  ‘cfv 6523  ℝcr 11074  (,)cioo 13351  topGenctg 17468  TopBasesctb 23007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-ioo 13355  df-topgen 17474  df-bases 23008

This theorem is referenced by:  retopon  24825  retps  24826  icccld  24828  icopnfcld  24829  iocmnfcld  24830  qdensere  24831  zcld  24876  iccntr  24884  icccmp  24888  retopconn  24892  opnreen  24894  rectbntr0  24895  cnmpopc  24992  evth  25023  evth2  25024  evthicc  25523  ovolicc2  25586  opnmbllem  25665  lhop  26080  dvcnvrelem2  26082  dvcnvre  26083  ftc1  26106  taylthlem2  26439  ipasslem8  31042  circtopn  34136  tpr2rico  34211  rrhf  34297  rrhqima  34313  rrhre  34320  brsigarn  34483  unibrsiga  34485  sxbrsigalem3  34571  dya2iocucvr  34583  sxbrsigalem1  34584  orrvcval4  34764  orrvcoel  34765  orrvccel  34766  retopsconn  35604  cvmliftlem10  35649  ivthALT  36700  ptrecube  38124  poimirlem29  38153  poimirlem30  38154  poimirlem31  38155  opnmbllem0  38160  mblfinlem1  38161  mblfinlem2  38162  mblfinlem3  38163  mblfinlem4  38164  ismblfin  38165  ftc1cnnc  38196  readvrec2  42975  refsum2cnlem1  45622  sncldre  45629  reopn  45873  ioontr  46092  limciccioolb  46202  limcicciooub  46216  lptre2pt  46219  limclner  46230  limclr  46234  cncfiooicclem1  46472  fperdvper  46498  itgsubsticclem  46554  stoweidlem62  46641  dirkercncflem2  46683  dirkercncflem3  46684  dirkercncflem4  46685  fourierdlem42  46728  fourierdlem58  46743  fourierdlem73  46758  fouriercnp  46805  fouriercn  46811  cnfsmf  47319  incsmf  47321  decsmf  47346  smfpimbor1lem2  47378