Theorem uniretop 24710

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13369	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24708	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22915	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4864  ran crn 5626  ‘cfv 6493  ℝcr 11029  (,)cioo 13265  topGenctg 17361  TopBasesctb 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13269  df-topgen 17367  df-bases 22894

This theorem is referenced by:  retopon  24711  retps  24712  icccld  24714  icopnfcld  24715  iocmnfcld  24716  qdensere  24717  zcld  24762  iccntr  24770  icccmp  24774  retopconn  24778  opnreen  24780  rectbntr0  24781  cnmpopc  24882  evth  24918  evth2  24919  evthicc  25420  ovolicc2  25483  opnmbllem  25562  lhop  25981  dvcnvrelem2  25983  dvcnvre  25984  ftc1  26009  taylthlem2  26342  taylthlem2OLD  26343  ipasslem8  30916  circtopn  33996  tpr2rico  34071  rrhf  34157  rrhqima  34173  rrhre  34180  brsigarn  34343  unibrsiga  34345  sxbrsigalem3  34431  dya2iocucvr  34443  sxbrsigalem1  34444  orrvcval4  34624  orrvcoel  34625  orrvccel  34626  retopsconn  35445  cvmliftlem10  35490  ivthALT  36531  ptrecube  37823  poimirlem29  37852  poimirlem30  37853  poimirlem31  37854  opnmbllem0  37859  mblfinlem1  37860  mblfinlem2  37861  mblfinlem3  37862  mblfinlem4  37863  ismblfin  37864  ftc1cnnc  37895  readvrec2  42683  refsum2cnlem1  45349  sncldre  45356  reopn  45604  ioontr  45824  limciccioolb  45934  limcicciooub  45948  lptre2pt  45951  limclner  45962  limclr  45966  cncfiooicclem1  46204  fperdvper  46230  itgsubsticclem  46286  stoweidlem62  46373  dirkercncflem2  46415  dirkercncflem3  46416  dirkercncflem4  46417  fourierdlem42  46460  fourierdlem58  46475  fourierdlem73  46490  fouriercnp  46537  fouriercn  46543  cnfsmf  47051  incsmf  47053  decsmf  47078  smfpimbor1lem2  47110