Theorem uniretop 25081

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13580	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 25079	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23285	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2786	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ran crn 5651  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  (,)cioo 13476  topGenctg 17608  TopBasesctb 23263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480  df-topgen 17614  df-bases 23264

This theorem is used by:  retopon  25082  retps  25083  icccld  25085  icopnfcld  25086  iocmnfcld  25087  qdensere  25088  zcld  25133  iccntr  25141  icccmp  25145  retopconn  25149  opnreen  25151  rectbntr0  25152  cnmpopc  25249  evth  25280  evth2  25281  evthicc  25780  ovolicc2  25843  opnmbllem  25922  lhop  26336  dvcnvrelem2  26338  dvcnvre  26339  ftc1  26362  taylthlem2  26701  ipasslem8  31439  circtopn  34469  tpr2rico  34544  rrhf  34630  rrhqima  34646  rrhre  34653  brsigarn  34817  unibrsiga  34819  sxbrsigalem3  34904  dya2iocucvr  34916  sxbrsigalem1  34917  orrvcval4  35097  orrvcoel  35098  orrvccel  35099  retopsconn  36014  cvmliftlem10  36059  ivthALT  37123  ptrecube  38539  poimirlem29  38568  poimirlem30  38569  poimirlem31  38570  opnmbllem0  38575  mblfinlem1  38576  mblfinlem2  38577  mblfinlem3  38578  mblfinlem4  38579  ismblfin  38580  ftc1cnnc  38611  readvrec2  43413  refsum2cnlem1  46054  sncldre  46061  reopn  46305  ioontr  46523  limciccioolb  46633  limcicciooub  46647  lptre2pt  46650  limclner  46661  limclr  46665  cncfiooicclem1  46903  fperdvper  46929  itgsubsticclem  46985  stoweidlem62  47072  dirkercncflem2  47114  dirkercncflem3  47115  dirkercncflem4  47116  fourierdlem42  47159  fourierdlem58  47174  fourierdlem73  47189  fouriercnp  47236  fouriercn  47242  cnfsmf  47750  incsmf  47752  decsmf  47777  smfpimbor1lem2  47809