Theorem uniretop 24727

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13402	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24725	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22932	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2762	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4850  ran crn 5632  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  TopBasesctb 22910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  retopon  24728  retps  24729  icccld  24731  icopnfcld  24732  iocmnfcld  24733  qdensere  24734  zcld  24779  iccntr  24787  icccmp  24791  retopconn  24795  opnreen  24797  rectbntr0  24798  cnmpopc  24895  evth  24926  evth2  24927  evthicc  25426  ovolicc2  25489  opnmbllem  25568  lhop  25983  dvcnvrelem2  25985  dvcnvre  25986  ftc1  26009  taylthlem2  26339  ipasslem8  30908  circtopn  33981  tpr2rico  34056  rrhf  34142  rrhqima  34158  rrhre  34165  brsigarn  34328  unibrsiga  34330  sxbrsigalem3  34416  dya2iocucvr  34428  sxbrsigalem1  34429  orrvcval4  34609  orrvcoel  34610  orrvccel  34611  retopsconn  35431  cvmliftlem10  35476  ivthALT  36517  ptrecube  37941  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  poimirlem31  37972  opnmbllem0  37977  mblfinlem1  37978  mblfinlem2  37979  mblfinlem3  37980  mblfinlem4  37981  ismblfin  37982  ftc1cnnc  38013  readvrec2  42793  refsum2cnlem1  45468  sncldre  45475  reopn  45722  ioontr  45941  limciccioolb  46051  limcicciooub  46065  lptre2pt  46068  limclner  46079  limclr  46083  cncfiooicclem1  46321  fperdvper  46347  itgsubsticclem  46403  stoweidlem62  46490  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem3  46533  dirkercncflem4  46534  fourierdlem42  46577  fourierdlem58  46592  fourierdlem73  46607  fouriercnp  46654  fouriercn  46660  cnfsmf  47168  incsmf  47170  decsmf  47195  smfpimbor1lem2  47227