Theorem uniretop 24723

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13379	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24721	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22928	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  ran crn 5635  ‘cfv 6502  ℝcr 11039  (,)cioo 13275  topGenctg 17371  TopBasesctb 22906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-ioo 13279  df-topgen 17377  df-bases 22907

This theorem is referenced by:  retopon  24724  retps  24725  icccld  24727  icopnfcld  24728  iocmnfcld  24729  qdensere  24730  zcld  24775  iccntr  24783  icccmp  24787  retopconn  24791  opnreen  24793  rectbntr0  24794  cnmpopc  24895  evth  24931  evth2  24932  evthicc  25433  ovolicc2  25496  opnmbllem  25575  lhop  25994  dvcnvrelem2  25996  dvcnvre  25997  ftc1  26022  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  ipasslem8  30931  circtopn  34021  tpr2rico  34096  rrhf  34182  rrhqima  34198  rrhre  34205  brsigarn  34368  unibrsiga  34370  sxbrsigalem3  34456  dya2iocucvr  34468  sxbrsigalem1  34469  orrvcval4  34649  orrvcoel  34650  orrvccel  34651  retopsconn  35471  cvmliftlem10  35516  ivthALT  36557  ptrecube  37900  poimirlem29  37929  poimirlem30  37930  poimirlem31  37931  opnmbllem0  37936  mblfinlem1  37937  mblfinlem2  37938  mblfinlem3  37939  mblfinlem4  37940  ismblfin  37941  ftc1cnnc  37972  readvrec2  42760  refsum2cnlem1  45426  sncldre  45433  reopn  45680  ioontr  45900  limciccioolb  46010  limcicciooub  46024  lptre2pt  46027  limclner  46038  limclr  46042  cncfiooicclem1  46280  fperdvper  46306  itgsubsticclem  46362  stoweidlem62  46449  dirkercncflem2  46491  dirkercncflem3  46492  dirkercncflem4  46493  fourierdlem42  46536  fourierdlem58  46551  fourierdlem73  46566  fouriercnp  46613  fouriercn  46619  cnfsmf  47127  incsmf  47129  decsmf  47154  smfpimbor1lem2  47186