Theorem uniretop 24930

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13482	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24928	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23135	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2788	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4871  ran crn 5661  ‘cfv 6536  ℝcr 11105  (,)cioo 13378  topGenctg 17496  TopBasesctb 23113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13382  df-topgen 17502  df-bases 23114

This theorem is used by:  retopon  24931  retps  24932  icccld  24934  icopnfcld  24935  iocmnfcld  24936  qdensere  24937  zcld  24982  iccntr  24990  icccmp  24994  retopconn  24998  opnreen  25000  rectbntr0  25001  cnmpopc  25098  evth  25129  evth2  25130  evthicc  25629  ovolicc2  25692  opnmbllem  25771  lhop  26186  dvcnvrelem2  26188  dvcnvre  26189  ftc1  26212  taylthlem2  26548  ipasslem8  31200  circtopn  34236  tpr2rico  34311  rrhf  34397  rrhqima  34413  rrhre  34420  brsigarn  34583  unibrsiga  34585  sxbrsigalem3  34671  dya2iocucvr  34683  sxbrsigalem1  34684  orrvcval4  34864  orrvcoel  34865  orrvccel  34866  retopsconn  35749  cvmliftlem10  35794  ivthALT  36874  ptrecube  38299  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem31  38330  opnmbllem0  38335  mblfinlem1  38336  mblfinlem2  38337  mblfinlem3  38338  mblfinlem4  38339  ismblfin  38340  ftc1cnnc  38371  readvrec2  43150  refsum2cnlem1  45785  sncldre  45792  reopn  46036  ioontr  46255  limciccioolb  46365  limcicciooub  46379  lptre2pt  46382  limclner  46393  limclr  46397  cncfiooicclem1  46635  fperdvper  46661  itgsubsticclem  46717  stoweidlem62  46804  dirkercncflem2  46846  dirkercncflem3  46847  dirkercncflem4  46848  fourierdlem42  46891  fourierdlem58  46906  fourierdlem73  46921  fouriercnp  46968  fouriercn  46974  cnfsmf  47482  incsmf  47484  decsmf  47509  smfpimbor1lem2  47541