Theorem uniretop 24928

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13480	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24926	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23133	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2789	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∪ cuni 4872  ran crn 5662  ‘cfv 6536  ℝcr 11103  (,)cioo 13376  topGenctg 17494  TopBasesctb 23111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioo 13380  df-topgen 17500  df-bases 23112

This theorem is used by:  retopon  24929  retps  24930  icccld  24932  icopnfcld  24933  iocmnfcld  24934  qdensere  24935  zcld  24980  iccntr  24988  icccmp  24992  retopconn  24996  opnreen  24998  rectbntr0  24999  cnmpopc  25096  evth  25127  evth2  25128  evthicc  25627  ovolicc2  25690  opnmbllem  25769  lhop  26184  dvcnvrelem2  26186  dvcnvre  26187  ftc1  26210  taylthlem2  26546  ipasslem8  31198  circtopn  34236  tpr2rico  34311  rrhf  34397  rrhqima  34413  rrhre  34420  brsigarn  34583  unibrsiga  34585  sxbrsigalem3  34671  dya2iocucvr  34683  sxbrsigalem1  34684  orrvcval4  34864  orrvcoel  34865  orrvccel  34866  retopsconn  35749  cvmliftlem10  35794  ivthALT  36874  ptrecube  38299  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem31  38330  opnmbllem0  38335  mblfinlem1  38336  mblfinlem2  38337  mblfinlem3  38338  mblfinlem4  38339  ismblfin  38340  ftc1cnnc  38371  readvrec2  43150  refsum2cnlem1  45785  sncldre  45792  reopn  46036  ioontr  46255  limciccioolb  46365  limcicciooub  46379  lptre2pt  46382  limclner  46393  limclr  46397  cncfiooicclem1  46635  fperdvper  46661  itgsubsticclem  46717  stoweidlem62  46804  dirkercncflem2  46846  dirkercncflem3  46847  dirkercncflem4  46848  fourierdlem42  46891  fourierdlem58  46906  fourierdlem73  46921  fouriercnp  46968  fouriercn  46974  cnfsmf  47482  incsmf  47484  decsmf  47509  smfpimbor1lem2  47541