Theorem uniretop 24286

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13428	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24284	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22477	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4908  ran crn 5677  ‘cfv 6543  ℝcr 11111  (,)cioo 13326  topGenctg 17385  TopBasesctb 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ioo 13330  df-topgen 17391  df-bases 22456

This theorem is referenced by:  retopon  24287  retps  24288  icccld  24290  icopnfcld  24291  iocmnfcld  24292  qdensere  24293  zcld  24336  iccntr  24344  icccmp  24348  retopconn  24352  opnreen  24354  rectbntr0  24355  cnmpopc  24451  evth  24482  evth2  24483  evthicc  24983  ovolicc2  25046  opnmbllem  25125  lhop  25540  dvcnvrelem2  25542  dvcnvre  25543  ftc1  25566  taylthlem2  25893  ipasslem8  30128  circtopn  32886  tpr2rico  32961  rrhf  33047  rrhqima  33063  rrhre  33070  brsigarn  33251  unibrsiga  33253  sxbrsigalem3  33340  dya2iocucvr  33352  sxbrsigalem1  33353  orrvcval4  33532  orrvcoel  33533  orrvccel  33534  retopsconn  34309  cvmliftlem10  34354  ivthALT  35306  ptrecube  36574  poimirlem29  36603  poimirlem30  36604  poimirlem31  36605  opnmbllem0  36610  mblfinlem1  36611  mblfinlem2  36612  mblfinlem3  36613  mblfinlem4  36614  ismblfin  36615  ftc1cnnc  36646  refsum2cnlem1  43803  sncldre  43811  reopn  44078  ioontr  44303  limciccioolb  44416  limcicciooub  44432  lptre2pt  44435  limclner  44446  limclr  44450  cncfiooicclem1  44688  fperdvper  44714  itgsubsticclem  44770  stoweidlem62  44857  dirkercncflem2  44899  dirkercncflem3  44900  dirkercncflem4  44901  fourierdlem42  44944  fourierdlem58  44959  fourierdlem73  44974  fouriercnp  45021  fouriercn  45027  cnfsmf  45535  incsmf  45537  decsmf  45562  smfpimbor1lem2  45594