Theorem uniretop 25028

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13535	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 25026	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 23232	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2786	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ran crn 5649  ‘cfv 6528  ℝcr 11156  (,)cioo 13431  topGenctg 17555  TopBasesctb 23210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-ioo 13435  df-topgen 17561  df-bases 23211

This theorem is used by:  retopon  25029  retps  25030  icccld  25032  icopnfcld  25033  iocmnfcld  25034  qdensere  25035  zcld  25080  iccntr  25088  icccmp  25092  retopconn  25096  opnreen  25098  rectbntr0  25099  cnmpopc  25196  evth  25227  evth2  25228  evthicc  25727  ovolicc2  25790  opnmbllem  25869  lhop  26283  dvcnvrelem2  26285  dvcnvre  26286  ftc1  26309  taylthlem2  26650  ipasslem8  31358  circtopn  34388  tpr2rico  34463  rrhf  34549  rrhqima  34565  rrhre  34572  brsigarn  34736  unibrsiga  34738  sxbrsigalem3  34824  dya2iocucvr  34836  sxbrsigalem1  34837  orrvcval4  35017  orrvcoel  35018  orrvccel  35019  retopsconn  35929  cvmliftlem10  35974  ivthALT  37039  ptrecube  38452  poimirlem29  38481  poimirlem30  38482  poimirlem31  38483  opnmbllem0  38488  mblfinlem1  38489  mblfinlem2  38490  mblfinlem3  38491  mblfinlem4  38492  ismblfin  38493  ftc1cnnc  38524  readvrec2  43334  refsum2cnlem1  45969  sncldre  45976  reopn  46220  ioontr  46439  limciccioolb  46549  limcicciooub  46563  lptre2pt  46566  limclner  46577  limclr  46581  cncfiooicclem1  46819  fperdvper  46845  itgsubsticclem  46901  stoweidlem62  46988  dirkercncflem2  47030  dirkercncflem3  47031  dirkercncflem4  47032  fourierdlem42  47075  fourierdlem58  47090  fourierdlem73  47105  fouriercnp  47152  fouriercn  47158  cnfsmf  47666  incsmf  47668  decsmf  47693  smfpimbor1lem2  47725