Theorem uniretop 24657

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 13417	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 24655	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 22861	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2756	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4874  ran crn 5642  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  (,)cioo 13313  topGenctg 17407  TopBasesctb 22839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317  df-topgen 17413  df-bases 22840

This theorem is referenced by:  retopon  24658  retps  24659  icccld  24661  icopnfcld  24662  iocmnfcld  24663  qdensere  24664  zcld  24709  iccntr  24717  icccmp  24721  retopconn  24725  opnreen  24727  rectbntr0  24728  cnmpopc  24829  evth  24865  evth2  24866  evthicc  25367  ovolicc2  25430  opnmbllem  25509  lhop  25928  dvcnvrelem2  25930  dvcnvre  25931  ftc1  25956  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  ipasslem8  30773  circtopn  33834  tpr2rico  33909  rrhf  33995  rrhqima  34011  rrhre  34018  brsigarn  34181  unibrsiga  34183  sxbrsigalem3  34270  dya2iocucvr  34282  sxbrsigalem1  34283  orrvcval4  34463  orrvcoel  34464  orrvccel  34465  retopsconn  35243  cvmliftlem10  35288  ivthALT  36330  ptrecube  37621  poimirlem29  37650  poimirlem30  37651  poimirlem31  37652  opnmbllem0  37657  mblfinlem1  37658  mblfinlem2  37659  mblfinlem3  37660  mblfinlem4  37661  ismblfin  37662  ftc1cnnc  37693  readvrec2  42356  refsum2cnlem1  45038  sncldre  45045  reopn  45294  ioontr  45516  limciccioolb  45626  limcicciooub  45642  lptre2pt  45645  limclner  45656  limclr  45660  cncfiooicclem1  45898  fperdvper  45924  itgsubsticclem  45980  stoweidlem62  46067  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem3  46110  dirkercncflem4  46111  fourierdlem42  46154  fourierdlem58  46169  fourierdlem73  46184  fouriercnp  46231  fouriercn  46237  cnfsmf  46745  incsmf  46747  decsmf  46772  smfpimbor1lem2  46804