Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem38 43488
Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 − 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem38.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem38.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
etransclem38.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem38 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem38.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 43466 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐼) ∈ Fin)
4 etransclem38.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12281 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
64adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 etransclem38.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
92adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
10 etransclem11 43461 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚})
11 etransclem11 43461 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
121, 10, 113eqtri 2769 . . . . 5 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
13 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
14 etransclem38.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
1514adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16 eqid 2737 . . . . 5 (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 43478 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
18 nnm1nn0 12131 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2019faccld 13850 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2120nnzd 12281 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2320nnne0d 11880 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2514elfzelzd 13113 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2625adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ ℤ)
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 43476 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
28 dvdsval2 15818 . . . . 5 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
3017, 29mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
31 pm3.22 463 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3231adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3433ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3532, 34pm2.65da 817 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → ¬ 𝐼 = (𝑃 − 1))
3635neqned 2947 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
374ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
387ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
392ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
40 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
41 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
4213ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 43474 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4436, 43mpdan 687 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
454ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
467ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
472ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
481, 2etransclem12 43462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
5013, 49eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
51 rabid 3290 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5250, 51sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5352simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
54 elmapi 8530 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5655adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5752simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
5857adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
59 1zzd 12208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
607nn0zd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6160adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
6225adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
63 elfznn0 13205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
6414, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
65 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
6664, 65anim12i 616 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
67 elnnne0 12104 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
6866, 67sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
6968nnge1d 11878 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
70 elfzle2 13116 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽𝑀)
7271adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
7359, 61, 62, 69, 72elfzd 13103 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7473adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7545, 46, 47, 56, 58, 16, 74etransclem25 43475 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
764nncnd 11846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
77 1cnd 10828 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7876, 77npcand 11193 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
7978eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8079fveq2d 6721 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
81 facp1 13844 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8219, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8378oveq2d 7229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
8420nncnd 11846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8584, 76mulcomd 10854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
8683, 85eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
8780, 82, 863eqtrrd 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
8887ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
8927zcnd 12283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
9084adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
9189, 90, 24divcan1d 11609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9291adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9375, 88, 923brtr4d 5085 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))))
945ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
9530adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
9621ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
9723ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
98 dvdsmulcr 15847 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
9994, 95, 96, 97, 98syl112anc 1376 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10093, 99mpbid 235 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
10144, 100pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1023, 5, 30, 101fsumdvds 15869 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
103 reelprrecn 10821 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
104103a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
105 reopn 42500 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
106 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
107106tgioo2 23700 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
108105, 107eleqtri 2836 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
109108a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
110 etransclem38.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
111 etransclem5 43455 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
112 fzssre 42526 . . . . . 6 (0...𝑀) ⊆ ℝ
113112, 14sseldi 3899 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114104, 109, 4, 7, 110, 2, 111, 1, 113etransclem31 43481 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
115114oveq1d 7228 . . 3 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1163, 84, 89, 23fsumdivc 15350 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
117115, 116eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
118102, 117breqtrrd 5081 1 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  {crab 3065  ifcif 4439  {cpr 4543   class class class wbr 5053  cmpt 5135  ran crn 5552  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  (,)cioo 12935  ...cfz 13095  cexp 13635  !cfa 13839  Σcsu 15249  cprod 15467  cdvds 15815  t crest 16925  TopOpenctopn 16926  topGenctg 16942  fldccnfld 20363   D𝑛 cdvn 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-prod 15468  df-dvds 15816  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-dvn 24765
This theorem is referenced by:  etransclem44  43494
  Copyright terms: Public domain W3C validator