Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem38 45073
Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 βˆ’ 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem38.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem38.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
etransclem38.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem38 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables 𝑑 𝑒 π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
2 etransclem38.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
31, 2etransclem16 45051 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΌ) ∈ Fin)
4 etransclem38.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
54nnzd 12587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
64adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7 etransclem38.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
87adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
92adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
10 etransclem11 45046 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘’β€˜π‘˜) = π‘š})
11 etransclem11 45046 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘’β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘—) = 𝑛})
121, 10, 113eqtri 2764 . . . . 5 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘—) = 𝑛})
13 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ))
14 etransclem38.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
1514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16 eqid 2732 . . . . 5 (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 45063 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
18 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2019faccld 14246 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
2120nnzd 12587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
2221adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
2320nnne0d 12264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
2423adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
2514elfzelzd 13504 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
2625adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 45061 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
28 dvdsval2 16202 . . . . 5 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ↔ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ↔ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
3017, 29mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
31 pm3.22 460 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3231adantll 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3433ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3532, 34pm2.65da 815 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ Β¬ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1))
3635neqned 2947 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1))
374ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
387ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
392ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
40 simpr 485 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1))
41 simplr 767 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 = 0)
4213ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ))
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 45059 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
4436, 43mpdan 685 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
454ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
467ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
472ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
481, 2etransclem12 45047 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΌ) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (πΆβ€˜πΌ) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
5013, 49eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
51 rabid 3452 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼))
5352simpld 495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
54 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5655adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5752simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼)
5857adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼)
59 1zzd 12595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 1 ∈ β„€)
607nn0zd 12586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6225adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
63 elfznn0 13596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
6414, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
65 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝐽 = 0 β†’ 𝐽 β‰  0)
6664, 65anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 β‰  0))
67 elnnne0 12488 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ β„• ↔ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 β‰  0))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ β„•)
6968nnge1d 12262 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 1 ≀ 𝐽)
70 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7271adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7359, 61, 62, 69, 72elfzd 13494 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7473adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7545, 46, 47, 56, 58, 16, 74etransclem25 45060 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜π‘ƒ) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
764nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
77 1cnd 11211 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7876, 77npcand 11577 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
7978eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
8079fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘ƒ) = (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
81 facp1 14240 . . . . . . . . 9 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
8219, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
8378oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 𝑃))
8420nncnd 12230 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8584, 76mulcomd 11237 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 𝑃) = (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
8683, 85eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
8780, 82, 863eqtrrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜π‘ƒ))
8887ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜π‘ƒ))
8927zcnd 12669 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„‚)
9084adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9189, 90, 24divcan1d 11993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
9291adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
9375, 88, 923brtr4d 5180 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
945ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
9530adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
9621ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9723ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
98 dvdsmulcr 16231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)) β†’ ((𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
9994, 95, 96, 97, 98syl112anc 1374 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ ((𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
10093, 99mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
10144, 100pm2.61dan 811 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1023, 5, 30, 101fsumdvds 16253 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
103 reelprrecn 11204 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
104103a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
105 reopn 44084 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
106 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
107106tgioo2 24326 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
108105, 107eleqtri 2831 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
109108a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
110 etransclem38.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
111 etransclem5 45040 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
112 fzssre 44109 . . . . . 6 (0...𝑀) βŠ† ℝ
113112, 14sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
114104, 109, 4, 7, 110, 2, 111, 1, 113etransclem31 45066 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
115114oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1163, 84, 89, 23fsumdivc 15734 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
117115, 116eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
118102, 117breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  β†‘cexp 14029  !cfa 14235  Ξ£csu 15634  βˆcprod 15851   βˆ₯ cdvds 16199   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950   D𝑛 cdvn 25388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-prod 15852  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-dvn 25392
This theorem is referenced by:  etransclem44  45079
  Copyright terms: Public domain W3C validator