Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem38 44988
Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 βˆ’ 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem38.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem38.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
etransclem38.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem38 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables 𝑑 𝑒 π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
2 etransclem38.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
31, 2etransclem16 44966 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΌ) ∈ Fin)
4 etransclem38.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
54nnzd 12585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
64adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7 etransclem38.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
87adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
92adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
10 etransclem11 44961 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘’β€˜π‘˜) = π‘š})
11 etransclem11 44961 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘’β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘—) = 𝑛})
121, 10, 113eqtri 2765 . . . . 5 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘—) = 𝑛})
13 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ))
14 etransclem38.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16 eqid 2733 . . . . 5 (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 44978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
18 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2019faccld 14244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
2120nnzd 12585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
2320nnne0d 12262 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
2423adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
2514elfzelzd 13502 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 44976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
28 dvdsval2 16200 . . . . 5 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ↔ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ↔ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
3017, 29mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
31 pm3.22 461 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3231adantll 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3433ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ (𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ 𝐽 = 0))
3532, 34pm2.65da 816 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ Β¬ 𝐼 = (𝑃 βˆ’ 1))
3635neqned 2948 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1))
374ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
387ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
392ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
40 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1))
41 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 = 0)
4213ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ))
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 44974 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 β‰  (𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
4436, 43mpdan 686 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
454ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
467ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
472ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
481, 2etransclem12 44962 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΌ) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (πΆβ€˜πΌ) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
5013, 49eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼})
51 rabid 3453 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼))
5352simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
54 elmapi 8843 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5655adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝐼))
5752simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼)
5857adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝐼)
59 1zzd 12593 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 1 ∈ β„€)
607nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6225adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
63 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
6414, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
65 neqne 2949 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝐽 = 0 β†’ 𝐽 β‰  0)
6664, 65anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 β‰  0))
67 elnnne0 12486 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ β„• ↔ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 β‰  0))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ β„•)
6968nnge1d 12260 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 1 ≀ 𝐽)
70 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7271adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ≀ 𝑀)
7359, 61, 62, 69, 72elfzd 13492 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7473adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7545, 46, 47, 56, 58, 16, 74etransclem25 44975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜π‘ƒ) βˆ₯ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
764nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
77 1cnd 11209 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7876, 77npcand 11575 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
7978eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
8079fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘ƒ) = (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
81 facp1 14238 . . . . . . . . 9 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
8219, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
8378oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 𝑃))
8420nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8584, 76mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 𝑃) = (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
8683, 85eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
8780, 82, 863eqtrrd 2778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜π‘ƒ))
8887ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜π‘ƒ))
8927zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„‚)
9084adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9189, 90, 24divcan1d 11991 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
9291adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
9375, 88, 923brtr4d 5181 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
945ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
9530adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
9621ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9723ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
98 dvdsmulcr 16229 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)) β†’ ((𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
9994, 95, 96, 97, 98syl112anc 1375 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ ((𝑃 Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) βˆ₯ (((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) Β· (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
10093, 99mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) ∧ Β¬ 𝐽 = 0) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
10144, 100pm2.61dan 812 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1023, 5, 30, 101fsumdvds 16251 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
103 reelprrecn 11202 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
104103a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
105 reopn 43999 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
106 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
107106tgioo2 24319 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
108105, 107eleqtri 2832 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
109108a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
110 etransclem38.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
111 etransclem5 44955 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
112 fzssre 44024 . . . . . 6 (0...𝑀) βŠ† ℝ
113112, 14sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
114104, 109, 4, 7, 110, 2, 111, 1, 113etransclem31 44981 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
115114oveq1d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1163, 84, 89, 23fsumdivc 15732 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)(((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
117115, 116eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜πΌ)((((!β€˜πΌ) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
118102, 117breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜πΌ)β€˜π½) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849   βˆ₯ cdvds 16197   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  etransclem44  44994
  Copyright terms: Public domain W3C validator