Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem38 42957
 Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 − 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem38.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem38.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
etransclem38.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem38 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem38.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 42935 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐼) ∈ Fin)
4 etransclem38.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12077 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
64adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 etransclem38.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
92adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
10 etransclem11 42930 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚})
11 etransclem11 42930 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
121, 10, 113eqtri 2825 . . . . 5 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
13 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
14 etransclem38.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
1514adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16 eqid 2798 . . . . 5 (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 42947 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
18 nnm1nn0 11929 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2019faccld 13643 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2120nnzd 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2320nnne0d 11678 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2514elfzelzd 12906 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2625adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ ℤ)
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 42945 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
28 dvdsval2 15605 . . . . 5 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
3017, 29mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
31 pm3.22 463 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3231adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3433ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3532, 34pm2.65da 816 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → ¬ 𝐼 = (𝑃 − 1))
3635neqned 2994 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
374ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
387ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
392ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
40 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
41 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
4213ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 42943 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4436, 43mpdan 686 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
454ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
467ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
472ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
481, 2etransclem12 42931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
5013, 49eleqtrd 2892 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
51 rabid 3331 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5250, 51sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5352simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
54 elmapi 8414 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5655adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5752simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
5857adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
59 1zzd 12004 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
607nn0zd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
6225adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
6359, 61, 623jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
64 elfznn0 12998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
66 neqne 2995 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
6765, 66anim12i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
68 elnnne0 11902 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
6967, 68sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
7069nnge1d 11676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
71 elfzle2 12909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
7214, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽𝑀)
7372adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
7463, 70, 73jca32 519 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
75 elfz2 12895 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
7674, 75sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7776adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7845, 46, 47, 56, 58, 16, 77etransclem25 42944 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
794nncnd 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
80 1cnd 10628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8179, 80npcand 10993 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8281eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8382fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
84 facp1 13637 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8681oveq2d 7152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
8720nncnd 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8887, 79mulcomd 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
8986, 88eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
9083, 85, 893eqtrrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
9190ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
9227zcnd 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
9387adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
9492, 93, 24divcan1d 11409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9594adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9678, 91, 953brtr4d 5063 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))))
975ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
9830adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
9921ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
10023ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
101 dvdsmulcr 15634 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10297, 98, 99, 100, 101syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10396, 102mpbid 235 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
10444, 103pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1053, 5, 30, 104fsumdvds 15653 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
106 reelprrecn 10621 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
107106a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
108 reopn 41963 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
109 eqid 2798 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
110109tgioo2 23418 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
111108, 110eleqtri 2888 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
113 etransclem38.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
114 etransclem5 42924 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
115 fzssre 41989 . . . . . 6 (0...𝑀) ⊆ ℝ
116115, 14sseldi 3913 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
117107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116etransclem31 42950 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
118117oveq1d 7151 . . 3 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1193, 87, 92, 23fsumdivc 15136 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
120118, 119eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
121105, 120breqtrrd 5059 1 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  ifcif 4425  {cpr 4527   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  (,)cioo 12729  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  !cfa 13632  Σcsu 15037  ∏cprod 15254   ∥ cdvds 15602   ↾t crest 16689  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  ℂfldccnfld 20095   D𝑛 cdvn 24477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-prod 15255  df-dvds 15603  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480  df-dvn 24481 This theorem is referenced by:  etransclem44  42963
 Copyright terms: Public domain W3C validator