etransclem38 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > etransclem38		Structured version Visualization version GIF version

Theorem etransclem38 46301

Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 − 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
etransclem38.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem38.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
etransclem38.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
etransclem38.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})

**Assertion**
Ref	Expression
etransclem38	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((ℝ D^𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38 Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem38.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
2		etransclem38.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
3	1, 2	etransclem16 46279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∈ Fin)
4		etransclem38.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		etransclem38.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
9	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
10		etransclem11 46274	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑘) = 𝑚})
11		etransclem11 46274	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑗) = 𝑛})
12	1, 10, 11	3eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑗) = 𝑛})
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼))
14		etransclem38.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))))
17	6, 8, 9, 12, 13, 15, 16	etransclem28 46291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
18		nnm1nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
20	19	faccld 14302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
23	20	nnne0d 12290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
25	14	elfzelzd 13542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝐽 ∈ ℤ)
27	6, 8, 9, 26, 12, 13	etransclem26 46289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
28		dvdsval2 16275	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
30	17, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
31		pm3.22 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
32	31	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
33		etransclem38.ij	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
34	33	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
35	32, 34	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → ¬ 𝐼 = (𝑃 − 1))
36	35	neqned 2939	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
37	4	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
38	7	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
39	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
41		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
42	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼))
43	37, 38, 39, 40, 41, 12, 42	etransclem24 46287	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
44	36, 43	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
45	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
46	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
47	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
48	1, 2	etransclem12 46275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (𝐶‘𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
50	13, 49	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
51		rabid 3437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼))
52	50, 51	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼))
53	52	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
54		elmapi 8863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
57	52	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼)
59		1zzd 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
60	7	nn0zd 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
62	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
63		elfznn0 13637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
64	14, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
65		neqne 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
66	64, 65	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐽 ≠ 0))
67		elnnne0 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐽 ≠ 0))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
69	68	nnge1d 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
70		elfzle2 13545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ≤ 𝑀)
71	14, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑀)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ≤ 𝑀)
73	59, 61, 62, 69, 72	elfzd 13532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
74	73	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
75	45, 46, 47, 56, 58, 16, 74	etransclem25 46288	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
76	4	nncnd 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
77		1cnd 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
78	76, 77	npcand 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
79	78	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
80	79	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
81		facp1 14296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
82	19, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
83	78	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
84	20	nncnd 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
85	84, 76	mulcomd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
86	83, 85	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
87	80, 82, 86	3eqtrrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
88	87	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
89	27	zcnd 12698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℂ)
90	84	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
91	89, 90, 24	divcan1d 12018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
92	91	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
93	75, 88, 92	3brtr4d 5151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))))
94	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
95	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
96	21	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
97	23	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
98		dvdsmulcr 16305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
99	94, 95, 96, 97, 98	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
100	93, 99	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
101	44, 100	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
102	3, 5, 30, 101	fsumdvds 16327	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
103		reelprrecn 11221	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
104	103	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
105		reopn 45318	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
106		tgioo4 24744	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
107	105, 106	eleqtri 2832	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
108	107	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
109		etransclem38.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
110		etransclem5 46268	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
111		fzssre 45343	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℝ
112	111, 14	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
113	104, 108, 4, 7, 109, 2, 110, 1, 112	etransclem31 46294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D^𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
114	113	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D^𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
115	3, 84, 89, 23	fsumdivc 15802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
116	114, 115	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D^𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
117	102, 116	breqtrrd 5147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((ℝ D^𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2932 {crab 3415 ifcif 4500 {cpr 4603 class class class wbr 5119 ↦ cmpt 5201 ran crn 5655 ⟶wf 6527 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 ↑_m cmap 8840 ℂcc 11127 ℝcr 11128 0cc0 11129 1c1 11130 + caddc 11132 · cmul 11134 < clt 11269 ≤ cle 11270 − cmin 11466 / cdiv 11894 ℕcn 12240 ℕ₀cn0 12501 ℤcz 12588 (,)cioo 13362 ...cfz 13524 ↑cexp 14079 !cfa 14291 Σcsu 15702 ∏cprod 15919 ∥ cdvds 16272 ↾_t crest 17434 TopOpenctopn 17435 topGenctg 17451 ℂ_fldccnfld 21315 D^𝑛 cdvn 25817

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-inf2 9655 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206 ax-pre-sup 11207 ax-addf 11208

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-tp 4606 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-iin 4970 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-se 5607 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7671 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8160 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-er 8719 df-map 8842 df-pm 8843 df-ixp 8912 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-fsupp 9374 df-fi 9423 df-sup 9454 df-inf 9455 df-oi 9524 df-card 9953 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11895 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12502 df-z 12589 df-dec 12709 df-uz 12853 df-q 12965 df-rp 13009 df-xneg 13128 df-xadd 13129 df-xmul 13130 df-ioo 13366 df-ico 13368 df-icc 13369 df-fz 13525 df-fzo 13672 df-seq 14020 df-exp 14080 df-fac 14292 df-bc 14321 df-hash 14349 df-cj 15118 df-re 15119 df-im 15120 df-sqrt 15254 df-abs 15255 df-clim 15504 df-sum 15703 df-prod 15920 df-dvds 16273 df-struct 17166 df-sets 17183 df-slot 17201 df-ndx 17213 df-base 17229 df-ress 17252 df-plusg 17284 df-mulr 17285 df-starv 17286 df-sca 17287 df-vsca 17288 df-ip 17289 df-tset 17290 df-ple 17291 df-ds 17293 df-unif 17294 df-hom 17295 df-cco 17296 df-rest 17436 df-topn 17437 df-0g 17455 df-gsum 17456 df-topgen 17457 df-pt 17458 df-prds 17461 df-xrs 17516 df-qtop 17521 df-imas 17522 df-xps 17524 df-mre 17598 df-mrc 17599 df-acs 17601 df-mgm 18618 df-sgrp 18697 df-mnd 18713 df-submnd 18762 df-mulg 19051 df-cntz 19300 df-cmn 19763 df-psmet 21307 df-xmet 21308 df-met 21309 df-bl 21310 df-mopn 21311 df-fbas 21312 df-fg 21313 df-cnfld 21316 df-top 22832 df-topon 22849 df-topsp 22871 df-bases 22884 df-cld 22957 df-ntr 22958 df-cls 22959 df-nei 23036 df-lp 23074 df-perf 23075 df-cn 23165 df-cnp 23166 df-haus 23253 df-tx 23500 df-hmeo 23693 df-fil 23784 df-fm 23876 df-flim 23877 df-flf 23878 df-xms 24259 df-ms 24260 df-tms 24261 df-cncf 24822 df-limc 25819 df-dv 25820 df-dvn 25821

This theorem is referenced by: etransclem44 46307

W3C validator