Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem38 46227
Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. if it is not the case that 𝐼 = 𝑃 − 1 and 𝐽 = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem38.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem38.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem38.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
etransclem38.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem38.ij (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
etransclem38.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem38 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐼,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem38.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 46205 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐼) ∈ Fin)
4 etransclem38.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12637 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
64adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 etransclem38.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
92adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
10 etransclem11 46200 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚})
11 etransclem11 46200 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑒𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
121, 10, 113eqtri 2766 . . . . 5 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑗) = 𝑛})
13 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
14 etransclem38.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
16 eqid 2734 . . . . 5 (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 46217 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
18 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2019faccld 14319 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2120nnzd 12637 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
2320nnne0d 12313 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
2514elfzelzd 13561 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝐽 ∈ ℤ)
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 46215 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
28 dvdsval2 16289 . . . . 5 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ↔ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
3017, 29mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
31 pm3.22 459 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3231adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3433ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝐼 = (𝑃 − 1) ∧ 𝐽 = 0))
3532, 34pm2.65da 817 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → ¬ 𝐼 = (𝑃 − 1))
3635neqned 2944 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
374ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
387ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
392ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
40 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
41 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
4213ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝐼))
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 46213 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) ∧ 𝐼 ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4436, 43mpdan 687 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
454ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
467ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
472ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
481, 2etransclem12 46201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
5013, 49eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
51 rabid 3454 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5250, 51sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼))
5352simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
54 elmapi 8887 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5655adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
5752simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
5857adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼)
59 1zzd 12645 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
607nn0zd 12636 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
6225adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
63 elfznn0 13656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
6414, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
65 neqne 2945 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
6664, 65anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
67 elnnne0 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
6866, 67sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
6968nnge1d 12311 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
70 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽𝑀)
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
7359, 61, 62, 69, 72elfzd 13551 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7473adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
7545, 46, 47, 56, 58, 16, 74etransclem25 46214 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
764nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
77 1cnd 11253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7876, 77npcand 11621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
7978eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8079fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
81 facp1 14313 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8219, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
8378oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
8420nncnd 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8584, 76mulcomd 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
8683, 85eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
8780, 82, 863eqtrrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
8887ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) = (!‘𝑃))
8927zcnd 12720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
9084adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
9189, 90, 24divcan1d 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9291adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
9375, 88, 923brtr4d 5179 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))))
945ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
9530adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
9621ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
9723ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
98 dvdsmulcr 16319 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
9994, 95, 96, 97, 98syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) ∥ (((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) · (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10093, 99mpbid 232 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
10144, 100pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝐼)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1023, 5, 30, 101fsumdvds 16341 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
103 reelprrecn 11244 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
104103a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
105 reopn 45239 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
106 eqid 2734 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
107106tgioo2 24838 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
108105, 107eleqtri 2836 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
109108a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
110 etransclem38.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
111 etransclem5 46194 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
112 fzssre 45264 . . . . . 6 (0...𝑀) ⊆ ℝ
113112, 14sselid 3992 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114104, 109, 4, 7, 110, 2, 111, 1, 113etransclem31 46220 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
115114oveq1d 7445 . . 3 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1163, 84, 89, 23fsumdivc 15818 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)(((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
117115, 116eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝐼)((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
118102, 117breqtrrd 5175 1 (𝜑𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝐼)‘𝐽) / (!‘(𝑃 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  ifcif 4530  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  (,)cioo 13383  ...cfz 13543  cexp 14098  !cfa 14308  Σcsu 15718  cprod 15935  cdvds 16286  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381   D𝑛 cdvn 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-prod 15936  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-dvn 25917
This theorem is referenced by:  etransclem44  46233
  Copyright terms: Public domain W3C validator