Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkeritg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkeritg 45490
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
dirkeritg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkeritg.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkeritg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkeritg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dirkeritg.aleb (𝜑𝐴𝐵)
dirkeritg.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkeritg (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6897 . . . 4 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
21cbvitgv 25719 . . 3 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠)
4 elioore 13387 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 halfre 12457 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
8 fzfid 13971 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfzelz 13534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
109zred 12697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 11275 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
1413recoscld 16121 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
158, 14fsumrecl 15713 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
167, 15readdcld 11274 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
17 pire 26406 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
19 pipos 26408 . . . . . . . . 9 0 < π
2017, 19gt0ne0ii 11781 . . . . . . . 8 π ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
2216, 18, 21redivcld 12073 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
235, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
24 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
2524fvmpt2 7016 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
265, 23, 25syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
28 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
2928eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
30 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))
3130fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
32 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
3332fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
3433oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
3531, 34oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3629, 35ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3736cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3837mpteq2i 5253 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3927, 38eqtri 2756 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
40 dirkeritg.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
41 dirkeritg.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝐷𝑁)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 45489 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
4342fveq1d 6899 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
4443adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
46 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑠))
4746fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑘 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
4847oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
4948sumeq2sdv 15683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
5032, 49oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) = ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))
5150oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π) = (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5251cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5345, 52eqtri 2756 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5453oveq2i 7431 . . . . . 6 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)))
55 reelprrecn 11231 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 recn 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5857halfcld 12488 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
599zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6260, 61mulcld 11265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
6362sincld 16107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
64 0red 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℝ)
65 1red 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
66 0lt1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 1)
68 elfzle1 13537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑘)
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 𝑘)
7069gt0ne0d 11809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
7263, 60, 71divcld 12021 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
738, 72fsumcl 15712 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
7458, 73addcld 11264 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
75 picn 26407 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
7774, 76, 21divcld 12021 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7922adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
8074adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
8116adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
8258adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
836a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
8457adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
85 1red 11246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8656dvmptid 25902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
87 2cnd 12321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88 2ne0 12347 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 25910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (1 / 2)))
9173adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
9215adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
93 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9493tgioo2 24732 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
95 reopn 44671 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
97 fzfid 13971 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9872ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
99983adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
10014ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
101100recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
1021013adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10463ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10559adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
107105, 106mulcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
108107coscld 16108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
109105, 108mulcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
11057, 109sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
111 ax-resscn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
112 resmpt 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
114113eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ))
115114oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)))
116107sincld 16107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
117116fmpttd 7125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ)
118109ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
119 dmmptg 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
121111, 120sseqtrrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
122 dvsinax 45301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
12359, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
124123dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
125121, 124sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))))
126 dvcnre 45304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
127117, 125, 126syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
128123reseq1d 5984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
129 resmpt 6041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
130111, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
131128, 130eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
132115, 127, 1313eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
133103, 104, 110, 132, 59, 70dvmptdivc 25910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)))
13459adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
13570adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
136101, 134, 135divcan3d 12026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘) = (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
137136mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
138133, 137eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
139138adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14094, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 139dvmptfsum 25920 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14156, 82, 83, 90, 91, 92, 140dvmptadd 25905 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
14275a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℂ)
14320a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ≠ 0)
14456, 80, 81, 141, 142, 143dvmptdivc 25910 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
145 dirkeritg.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
146 dirkeritg.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
147145, 146iccssred 13444 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
148 iccntr 24750 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
149145, 146, 148syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
15056, 78, 79, 144, 147, 94, 93, 149dvmptres2 25907 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
15154, 150eqtrid 2780 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
152151, 23fvmpt2d 7018 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
15326, 44, 1523eqtr4d 2778 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑠))
154153itgeq2dv 25724 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠)
155 dirkeritg.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
156 ioosscn 13419 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
158 halfcn 12458 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
160 ssid 4002 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162157, 159, 161constcncfg 45260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
164 coscn 26395 . . . . . . . . . . 11 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
166 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠))
167166mulc1cncf 24838 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16859, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
169165, 168cncfmpt1f 24847 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
170156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
171160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℂ ⊆ ℂ)
1724, 101sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
173163, 169, 170, 171, 172cncfmptssg 45259 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
174173adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
175157, 97, 174fsumcncf 45266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
176162, 175addcncf 25385 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
177 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ π)
178 cncfmptc 24845 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17975, 160, 160, 178mp3an 1458 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
180179a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
181 difssd 4131 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
182 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
18375, 20, 182mpbir2an 710 . . . . . . 7 π ∈ (ℂ ∖ {0})
184183a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
185177, 180, 157, 181, 184cncfmptssg 45259 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
186176, 185divcncf 25389 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
187151, 186eqeltrd 2829 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
188 ioossicc 13443 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
189188a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
190 ioombl 25507 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
191190a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
1926a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
193 fzfid 13971 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19410adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
195147sselda 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
196195adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
197194, 196remulcld 11275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
198197recoscld 16121 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
199193, 198fsumrecl 15713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
200192, 199readdcld 11274 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
20117a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ∈ ℝ)
20220a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ≠ 0)
203200, 201, 202redivcld 12073 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
204147, 111sstrdi 3992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
205204, 159, 161constcncfg 45260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
206 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))
207169adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208161, 97, 207fsumcncf 45266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209199recnd 11273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
210206, 208, 204, 161, 209cncfmptssg 45259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
211205, 210addcncf 25385 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
212183a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
213204, 212, 181constcncfg 45260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
214211, 213divcncf 25389 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
215 cniccibl 25783 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
216145, 146, 214, 215syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
217189, 191, 203, 216iblss 25747 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
218151, 217eqeltrd 2829 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
219204, 161idcncfg 45261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
220 2cn 12318 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
221 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
222220, 88, 221mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℂ ∖ {0})
223222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
224204, 223, 181constcncfg 45260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
225219, 224divcncf 25389 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
226 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
227 sincn 26394 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
229228, 168cncfmpt1f 24847 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
230229adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
231204adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
232160a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
23359ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑘 ∈ ℂ)
234195recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
235234adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236233, 235mulcld 11265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
237236sincld 16107 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
238226, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 45259 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
239 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
24059, 70, 239sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
241240adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
242 difssd 4131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
243231, 241, 242constcncfg 45260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
244238, 243divcncf 25389 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
245204, 97, 244fsumcncf 45266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
246225, 245addcncf 25385 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
247246, 213divcncf 25389 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24853, 247eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
249145, 146, 155, 187, 218, 248ftc2 25992 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
2503, 154, 2493eqtrd 2772 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360  ...cfz 13517   mod cmo 13867  Σcsu 15665  sincsin 16040  cosccos 16041  πcpi 16043  TopOpenctopn 17403  topGenctg 17419  fldccnfld 21279  intcnt 22934  cnccncf 24809  volcvol 25405  𝐿1cibl 25559  citg 25560   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45597  fourierdlem104  45598
  Copyright terms: Public domain W3C validator