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Theorem dirkeritg 44417
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2)))))))
dirkeritg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkeritg.f 𝐹 = (π·β€˜π‘)
dirkeritg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dirkeritg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dirkeritg.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
dirkeritg.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((π‘₯ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜)) / Ο€))
Assertion
Ref Expression
dirkeritg (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐷(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . 4 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ ))
21cbvitgv 25157 . . 3 ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘ ) d𝑠
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘ ) d𝑠)
4 elioore 13301 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6 halfre 12374 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
8 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
109zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ ℝ)
1413recoscld 16033 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
158, 14fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
167, 15readdcld 11191 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
17 pire 25831 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
19 pipos 25833 . . . . . . . . 9 0 < Ο€
2017, 19gt0ne0ii 11698 . . . . . . . 8 Ο€ β‰  0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ β‰  0)
2216, 18, 21redivcld 11990 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) ∈ ℝ)
235, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) ∈ ℝ)
24 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
2524fvmpt2 6964 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))β€˜π‘ ) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
265, 23, 25syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))β€˜π‘ ) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2)))))))
28 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = (𝑠 mod (2 Β· Ο€)))
2928eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0))
30 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯) = ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
3130fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
32 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ / 2) = (𝑠 / 2))
3332fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(π‘₯ / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
3433oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
3531, 34oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
3629, 35ifbieq2d 4517 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑠 β†’ if((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2))))) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
3736cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
3837mpteq2i 5215 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(π‘₯ / 2))))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
3927, 38eqtri 2765 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
40 dirkeritg.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
41 dirkeritg.f . . . . . . 7 𝐹 = (π·β€˜π‘)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 44416 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)))
4342fveq1d 6849 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))β€˜π‘ ))
4443adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))β€˜π‘ ))
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((π‘₯ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜)) / Ο€))
46 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· 𝑠))
4746fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))
4847oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))
4948sumeq2sdv 15596 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑠 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))
5032, 49oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((π‘₯ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜)) = ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)))
5150oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((π‘₯ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜)) / Ο€) = (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))
5251cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((π‘₯ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) / π‘˜)) / Ο€)) = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))
5345, 52eqtri 2765 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))
5453oveq2i 7373 . . . . . 6 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€)))
55 reelprrecn 11150 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5655a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
57 recn 11148 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5857halfcld 12405 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
599zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6157adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6260, 61mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚)
6362sincld 16019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
64 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 0 ∈ ℝ)
65 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 1 ∈ ℝ)
66 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 0 < 1)
68 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 1 ≀ π‘˜)
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 0 < π‘˜)
7069gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ β‰  0)
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ β‰  0)
7263, 60, 71divcld 11938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) ∈ β„‚)
738, 72fsumcl 15625 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) ∈ β„‚)
7458, 73addcld 11181 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
75 picn 25832 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ β„‚
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
7774, 76, 21divcld 11938 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) ∈ β„‚)
7877adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) ∈ β„‚)
7922adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) ∈ ℝ)
8074adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
8116adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
8258adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
836a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
8457adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
85 1red 11163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
8656dvmptid 25337 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
87 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
88 2ne0 12264 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 25345 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (1 / 2)))
9173adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) ∈ β„‚)
9215adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
93 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9493tgioo2 24182 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
95 reopn 43597 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
97 fzfid 13885 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
9872ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) ∈ β„‚)
99983adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) ∈ β„‚)
10014ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
101100recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
1021013adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
10463ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
10559adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
106 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
107105, 106mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚)
108107coscld 16020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
109105, 108mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
11057, 109sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
111 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ βŠ† β„‚
112 resmpt 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
114113eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ))
115114oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ)))
116107sincld 16019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
117116fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))):β„‚βŸΆβ„‚)
118109ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ βˆ€π‘  ∈ β„‚ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
119 dmmptg 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘  ∈ β„‚ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = β„‚)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = β„‚)
121111, 120sseqtrrid 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ℝ βŠ† dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
122 dvsinax 44228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
12359, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
124123dmeqd 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
125121, 124sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
126 dvcnre 44231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))):β„‚βŸΆβ„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
127117, 125, 126syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
128123reseq1d 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
129 resmpt 5996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
130111, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
131128, 130eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
132115, 127, 1313eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
133103, 104, 110, 132, 59, 70dvmptdivc 25345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / π‘˜)))
13459adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
13570adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
136101, 134, 135divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / π‘˜) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))
137136mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π‘˜ Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / π‘˜)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
138133, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
139138adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
14094, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 139dvmptfsum 25355 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))))
14156, 82, 83, 90, 91, 92, 140dvmptadd 25340 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))))
14275a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
14320a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
14456, 80, 81, 141, 142, 143dvmptdivc 25345 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)))
145 dirkeritg.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
146 dirkeritg.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
147145, 146iccssred 13358 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
148 iccntr 24200 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
149145, 146, 148syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
15056, 78, 79, 144, 147, 94, 93, 149dvmptres2 25342 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)))
15154, 150eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)))
152151, 23fvmpt2d 6966 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘ ) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
15326, 44, 1523eqtr4d 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘ ))
154153itgeq2dv 25162 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘ ) d𝑠)
155 dirkeritg.aleb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
156 ioosscn 13333 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
157156a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
158 halfcn 12375 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ β„‚
159158a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
160 ssid 3971 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
161160a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
162157, 159, 161constcncfg 44187 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
163 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))
164 coscn 25820 . . . . . . . . . . 11 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
166 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· 𝑠))
167166mulc1cncf 24284 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
16859, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
169165, 168cncfmpt1f 24293 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
170156a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
171160a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
1724, 101sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
173163, 169, 170, 171, 172cncfmptssg 44186 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
174173adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
175157, 97, 174fsumcncf 44193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
176162, 175addcncf 24824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
177 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ο€) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ο€)
178 cncfmptc 24291 . . . . . . . 8 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ο€) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17975, 160, 160, 178mp3an 1462 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ο€) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
180179a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ο€) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
181 difssd 4097 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
182 eldifsn 4752 . . . . . . . 8 (Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0))
18375, 20, 182mpbir2an 710 . . . . . . 7 Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})
184183a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
185177, 180, 157, 181, 184cncfmptssg 44186 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ Ο€) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
186176, 185divcncf 24827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
187151, 186eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
188 ioossicc 13357 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
189188a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
190 ioombl 24945 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
191190a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
1926a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
193 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
19410adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
195147sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
196195adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
197194, 196remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ ℝ)
198197recoscld 16033 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
199193, 198fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
200192, 199readdcld 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
20117a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
20220a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Ο€ β‰  0)
203200, 201, 202redivcld 11990 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) ∈ ℝ)
204147, 111sstrdi 3961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
205204, 159, 161constcncfg 44187 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
206 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))
207169adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
208161, 97, 207fsumcncf 44193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
209199recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
210206, 208, 204, 161, 209cncfmptssg 44186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
211205, 210addcncf 24824 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
212183a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
213204, 212, 181constcncfg 44187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ Ο€) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
214211, 213divcncf 24827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
215 cniccibl 25221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ 𝐿1)
216145, 146, 214, 215syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ 𝐿1)
217189, 191, 203, 216iblss 25185 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) ∈ 𝐿1)
218151, 217eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
219204, 161idcncfg 44188 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
220 2cn 12235 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
221 eldifsn 4752 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
222220, 88, 221mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 2 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
223222a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
224204, 223, 181constcncfg 44187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
225219, 224divcncf 24827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
226 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)))
227 sincn 25819 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
229228, 168cncfmpt1f 24293 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
230229adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
231204adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
232160a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
23359ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
234195recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
235234adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
236233, 235mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚)
237236sincld 16019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
238226, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 44186 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
239 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0))
24059, 70, 239sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
241240adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
242 difssd 4097 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
243231, 241, 242constcncfg 44187 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘˜) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
244238, 243divcncf 24827 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
245204, 97, 244fsumcncf 44193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
246225, 245addcncf 24824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
247246, 213divcncf 24827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
24853, 247eqeltrid 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
249145, 146, 155, 187, 218, 248ftc2 25424 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘ ) d𝑠 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
2503, 154, 2493eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  ...cfz 13431   mod cmo 13781  Ξ£csu 15577  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
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