Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkeritg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkeritg 41246
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
dirkeritg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkeritg.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkeritg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkeritg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dirkeritg.aleb (𝜑𝐴𝐵)
dirkeritg.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkeritg (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6446 . . . 4 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
21cbvitgv 23980 . . 3 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠)
4 elioore 12517 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 halfre 11596 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
8 fzfid 13091 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfzelz 12659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
109zred 11834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1110adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 10407 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
1413recoscld 15276 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
158, 14fsumrecl 14872 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
167, 15readdcld 10406 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
17 pire 24648 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
19 pipos 24650 . . . . . . . . 9 0 < π
2017, 19gt0ne0ii 10911 . . . . . . . 8 π ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
2216, 18, 21redivcld 11203 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
235, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
24 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
2524fvmpt2 6552 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
265, 23, 25syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
28 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
2928eqeq1d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
30 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))
3130fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
32 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
3332fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
3433oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
3531, 34oveq12d 6940 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3629, 35ifbieq2d 4332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3736cbvmptv 4985 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3837mpteq2i 4976 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3927, 38eqtri 2802 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
40 dirkeritg.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
41 dirkeritg.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝐷𝑁)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 41245 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
4342fveq1d 6448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
4443adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
46 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑠))
4746fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑘 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
4847oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
4948sumeq2sdv 14842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
5032, 49oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) = ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))
5150oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π) = (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5251cbvmptv 4985 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5345, 52eqtri 2802 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5453oveq2i 6933 . . . . . 6 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)))
55 reelprrecn 10364 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 recn 10362 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5857halfcld 11627 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
599zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6157adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6260, 61mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
6362sincld 15262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
64 0red 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℝ)
65 1red 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
66 0lt1 10897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 1)
68 elfzle1 12661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑘)
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 10536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 𝑘)
7069gt0ne0d 10939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
7170adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
7263, 60, 71divcld 11151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
738, 72fsumcl 14871 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
7458, 73addcld 10396 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
75 picn 24649 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
7774, 76, 21divcld 11151 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7877adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7922adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
8074adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
8116adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
8258adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
836a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
8457adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
85 1red 10377 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8656dvmptid 24157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
87 2cnd 11453 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88 2ne0 11486 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 24165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (1 / 2)))
9173adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
9215adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
93 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9493tgioo2 23014 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
95 reopn 40411 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
97 fzfid 13091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9872ancoms 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
99983adant1 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
10014ancoms 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
101100recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
1021013adant1 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10463ancoms 452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10559adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
107105, 106mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
108107coscld 15263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
109105, 108mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
11057, 109sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
111 ax-resscn 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
112 resmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
114113eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ))
115114oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)))
116107sincld 15262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
117116fmpttd 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ)
118109ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
119 dmmptg 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
121111, 120syl5sseqr 3873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
122 dvsinax 41055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
12359, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
124123dmeqd 5571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
125121, 124sseqtr4d 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))))
126 dvcnre 41058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
127117, 125, 126syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
128123reseq1d 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
129 resmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
130111, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
131128, 130syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
132115, 127, 1313eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
133103, 104, 110, 132, 59, 70dvmptdivc 24165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)))
13459adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
13570adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
136101, 134, 135divcan3d 11156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘) = (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
137136mpteq2dva 4979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
138133, 137eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
139138adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14094, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 139dvmptfsum 24175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14156, 82, 83, 90, 91, 92, 140dvmptadd 24160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
14275a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℂ)
14320a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ≠ 0)
14456, 80, 81, 141, 142, 143dvmptdivc 24165 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
145 dirkeritg.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
146 dirkeritg.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
147145, 146iccssred 40639 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
148 iccntr 23032 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
149145, 146, 148syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
15056, 78, 79, 144, 147, 94, 93, 149dvmptres2 24162 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
15154, 150syl5eq 2826 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
152151, 23fvmpt2d 6554 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
15326, 44, 1523eqtr4d 2824 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑠))
154153itgeq2dv 23985 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠)
155 dirkeritg.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
156 ioosscn 40628 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
158 halfcn 11597 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
160 ssid 3842 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162157, 159, 161constcncfg 41012 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
164 coscn 24636 . . . . . . . . . . 11 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
166 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠))
167166mulc1cncf 23116 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16859, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
169165, 168cncfmpt1f 23124 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
170156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
171160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℂ ⊆ ℂ)
1724, 101sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
173163, 169, 170, 171, 172cncfmptssg 41011 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
174173adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
175157, 97, 174fsumcncf 41019 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
176162, 175addcncf 41014 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
177 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ π)
178 cncfmptc 23122 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17975, 160, 160, 178mp3an 1534 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
180179a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
181 difssd 3961 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
182 eldifsn 4550 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
18375, 20, 182mpbir2an 701 . . . . . . 7 π ∈ (ℂ ∖ {0})
184183a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
185177, 180, 157, 181, 184cncfmptssg 41011 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
186176, 185divcncf 23651 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
187151, 186eqeltrd 2859 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
188 ioossicc 12571 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
189188a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
190 ioombl 23769 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
191190a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
1926a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
193 fzfid 13091 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19410adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
195147sselda 3821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
196195adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
197194, 196remulcld 10407 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
198197recoscld 15276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
199193, 198fsumrecl 14872 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
200192, 199readdcld 10406 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
20117a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ∈ ℝ)
20220a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ≠ 0)
203200, 201, 202redivcld 11203 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
204147, 111syl6ss 3833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
205204, 159, 161constcncfg 41012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
206 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))
207169adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208161, 97, 207fsumcncf 41019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209199recnd 10405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
210206, 208, 204, 161, 209cncfmptssg 41011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
211205, 210addcncf 41014 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
212183a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
213204, 212, 181constcncfg 41012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
214211, 213divcncf 23651 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
215 cniccibl 24044 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
216145, 146, 214, 215syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
217189, 191, 203, 216iblss 24008 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
218151, 217eqeltrd 2859 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
219204, 161idcncfg 41013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
220 2cn 11450 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
221 eldifsn 4550 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
222220, 88, 221mpbir2an 701 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℂ ∖ {0})
223222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
224204, 223, 181constcncfg 41012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
225219, 224divcncf 23651 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
226 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
227 sincn 24635 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
229228, 168cncfmpt1f 23124 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
230229adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
231204adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
232160a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
23359ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑘 ∈ ℂ)
234195recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
235234adantlr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236233, 235mulcld 10397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
237236sincld 15262 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
238226, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 41011 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
239 eldifsn 4550 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
24059, 70, 239sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
241240adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
242 difssd 3961 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
243231, 241, 242constcncfg 41012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
244238, 243divcncf 23651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
245204, 97, 244fsumcncf 41019 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
246225, 245addcncf 41014 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
247246, 213divcncf 23651 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24853, 247syl5eqel 2863 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
249145, 146, 155, 187, 218, 248ftc2 24244 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
2503, 154, 2493eqtrd 2818 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  cdif 3789  wss 3792  ifcif 4307  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  ran crn 5356  cres 5357  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  ...cfz 12643   mod cmo 12987  Σcsu 14824  sincsin 15196  cosccos 15197  πcpi 15199  TopOpenctopn 16468  topGenctg 16484  fldccnfld 20142  intcnt 21229  cnccncf 23087  volcvol 23667  𝐿1cibl 23821  citg 23822   D cdv 24064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-mbf 23823  df-itg1 23824  df-itg2 23825  df-ibl 23826  df-itg 23827  df-0p 23874  df-limc 24067  df-dv 24068
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  41353  fourierdlem104  41354
  Copyright terms: Public domain W3C validator