Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkeritg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkeritg 46057
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
dirkeritg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkeritg.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkeritg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkeritg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dirkeritg.aleb (𝜑𝐴𝐵)
dirkeritg.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkeritg (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
21cbvitgv 25826 . . 3 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠)
4 elioore 13413 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 halfre 12477 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
8 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
109zred 12719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
1413recoscld 16176 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
158, 14fsumrecl 15766 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
167, 15readdcld 11287 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
17 pire 26514 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
19 pipos 26516 . . . . . . . . 9 0 < π
2017, 19gt0ne0ii 11796 . . . . . . . 8 π ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
2216, 18, 21redivcld 12092 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
235, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
24 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
2524fvmpt2 7026 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
265, 23, 25syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
28 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
2928eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
30 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))
3130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
32 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
3332fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
3433oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
3531, 34oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3629, 35ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3736cbvmptv 5260 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3837mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3927, 38eqtri 2762 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
40 dirkeritg.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
41 dirkeritg.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝐷𝑁)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 46056 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
4342fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
4443adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
46 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑠))
4746fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑘 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
4847oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
4948sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
5032, 49oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) = ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))
5150oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π) = (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5251cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5345, 52eqtri 2762 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5453oveq2i 7441 . . . . . 6 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)))
55 reelprrecn 11244 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 recn 11242 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5857halfcld 12508 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
599zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6260, 61mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
6362sincld 16162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
64 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℝ)
65 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
66 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 1)
68 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑘)
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 𝑘)
7069gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
7263, 60, 71divcld 12040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
738, 72fsumcl 15765 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
7458, 73addcld 11277 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
75 picn 26515 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
7774, 76, 21divcld 12040 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7922adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
8074adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
8116adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
8258adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
836a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
8457adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
85 1red 11259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8656dvmptid 26009 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
87 2cnd 12341 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88 2ne0 12367 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 26017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (1 / 2)))
9173adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
9215adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
93 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9493tgioo2 24838 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
95 reopn 45239 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
97 fzfid 14010 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9872ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
99983adant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
10014ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
101100recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
1021013adant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10463ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10559adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
107105, 106mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
108107coscld 16163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
109105, 108mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
11057, 109sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
111 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
112 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
114113eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ))
115114oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)))
116107sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
117116fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ)
118109ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
119 dmmptg 6263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
121111, 120sseqtrrid 4048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
122 dvsinax 45868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
12359, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
124123dmeqd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
125121, 124sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))))
126 dvcnre 45871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
127117, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
128123reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
129 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
130111, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
131128, 130eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
132115, 127, 1313eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
133103, 104, 110, 132, 59, 70dvmptdivc 26017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)))
13459adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
13570adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
136101, 134, 135divcan3d 12045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘) = (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
137136mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
138133, 137eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
139138adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14094, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 139dvmptfsum 26027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14156, 82, 83, 90, 91, 92, 140dvmptadd 26012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
14275a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℂ)
14320a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ≠ 0)
14456, 80, 81, 141, 142, 143dvmptdivc 26017 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
145 dirkeritg.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
146 dirkeritg.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
147145, 146iccssred 13470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
148 iccntr 24856 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
149145, 146, 148syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
15056, 78, 79, 144, 147, 94, 93, 149dvmptres2 26014 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
15154, 150eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
152151, 23fvmpt2d 7028 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
15326, 44, 1523eqtr4d 2784 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑠))
154153itgeq2dv 25831 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠)
155 dirkeritg.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
156 ioosscn 13445 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
158 halfcn 12478 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
160 ssid 4017 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
161160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162157, 159, 161constcncfg 45827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
164 coscn 26503 . . . . . . . . . . 11 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
166 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠))
167166mulc1cncf 24944 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16859, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
169165, 168cncfmpt1f 24953 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
170156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
171160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℂ ⊆ ℂ)
1724, 101sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
173163, 169, 170, 171, 172cncfmptssg 45826 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
174173adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
175157, 97, 174fsumcncf 45833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
176162, 175addcncf 25491 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
177 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ π)
178 cncfmptc 24951 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17975, 160, 160, 178mp3an 1460 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
180179a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
181 difssd 4146 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
182 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
18375, 20, 182mpbir2an 711 . . . . . . 7 π ∈ (ℂ ∖ {0})
184183a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
185177, 180, 157, 181, 184cncfmptssg 45826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
186176, 185divcncf 25495 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
187151, 186eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
188 ioossicc 13469 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
189188a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
190 ioombl 25613 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
191190a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
1926a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
193 fzfid 14010 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19410adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
195147sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
196195adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
197194, 196remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
198197recoscld 16176 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
199193, 198fsumrecl 15766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
200192, 199readdcld 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
20117a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ∈ ℝ)
20220a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ≠ 0)
203200, 201, 202redivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
204147, 111sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
205204, 159, 161constcncfg 45827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
206 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))
207169adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208161, 97, 207fsumcncf 45833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209199recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
210206, 208, 204, 161, 209cncfmptssg 45826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
211205, 210addcncf 25491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
212183a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
213204, 212, 181constcncfg 45827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
214211, 213divcncf 25495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
215 cniccibl 25890 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
216145, 146, 214, 215syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
217189, 191, 203, 216iblss 25854 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
218151, 217eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
219204, 161idcncfg 45828 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
220 2cn 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
221 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
222220, 88, 221mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℂ ∖ {0})
223222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
224204, 223, 181constcncfg 45827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
225219, 224divcncf 25495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
226 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
227 sincn 26502 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
229228, 168cncfmpt1f 24953 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
230229adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
231204adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
232160a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
23359ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑘 ∈ ℂ)
234195recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
235234adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236233, 235mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
237236sincld 16162 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
238226, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 45826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
239 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
24059, 70, 239sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
241240adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
242 difssd 4146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
243231, 241, 242constcncfg 45827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
244238, 243divcncf 25495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
245204, 97, 244fsumcncf 45833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
246225, 245addcncf 25491 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
247246, 213divcncf 25495 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24853, 247eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
249145, 146, 155, 187, 218, 248ftc2 26099 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
2503, 154, 2493eqtrd 2778 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ...cfz 13543   mod cmo 13905  Σcsu 15718  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  intcnt 23040  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165
  Copyright terms: Public domain W3C validator