Theorem etransclem39 47166

Description: 𝐺 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem39.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem39.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem39.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem39.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
etransclem39	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝐺(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0...𝑅) ∈ Fin)
2		reelprrecn 11241	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4		reopn 46187	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
5		tgioo4 25063	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6	4, 5	eleqtri 2858	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8		etransclem39.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		etransclem39.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		etransclem39.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
13		elfznn0 13700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
15	3, 7, 9, 11, 12, 14	etransclem33 47160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
16	15	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
17		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	1, 18	fsumcl 15844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
20		etransclem39.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
21	19, 20	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   − cmin 11490  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  (,)cioo 13423  ...cfz 13586  ↑cexp 14150  Σcsu 15798  ∏cprod 16017   ↾_t crest 17530  TopOpenctopn 17531  topGenctg 17547  ℂ_fldccnfld 21617   D^𝑛 cdvn 26123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-sum 15799  df-prod 16018  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126  df-dvn 26127

This theorem is used by:  etransclem46  47173