Theorem etransclem39 47065

Description: 𝐺 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem39.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem39.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem39.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem39.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
etransclem39	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝐺(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0...𝑅) ∈ Fin)
2		reelprrecn 11212	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4		reopn 46086	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
5		tgioo4 25018	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6	4, 5	eleqtri 2863	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8		etransclem39.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		etransclem39.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		etransclem39.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
13		elfznn0 13670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
15	3, 7, 9, 11, 12, 14	etransclem33 47059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
16	15	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
17		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	1, 18	fsumcl 15812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
20		etransclem39.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
21	19, 20	fmptd 7114	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cpr 4593   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  ℝcr 11119  0cc0 11120  1c1 11121   · cmul 11125   − cmin 11461  ℕcn 12253  ℕ₀cn0 12524  (,)cioo 13393  ...cfz 13556  ↑cexp 14120  Σcsu 15766  ∏cprod 15985   ↾_t crest 17500  TopOpenctopn 17501  topGenctg 17517  ℂ_fldccnfld 21577   D^𝑛 cdvn 26079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-exp 14121  df-fac 14333  df-bc 14362  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-clim 15568  df-sum 15767  df-prod 15986  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-submnd 18884  df-mulg 19183  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-fbas 21574  df-fg 21575  df-cnfld 21578  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cld 23231  df-ntr 23232  df-cls 23233  df-nei 23310  df-lp 23348  df-perf 23349  df-cn 23439  df-cnp 23440  df-haus 23527  df-tx 23775  df-hmeo 23968  df-fil 24059  df-fm 24151  df-flim 24152  df-flf 24153  df-xms 24533  df-ms 24534  df-tms 24535  df-cncf 25093  df-limc 26081  df-dv 26082  df-dvn 26083

This theorem is used by:  etransclem46  47072