Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem39 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem39 44408
Description: 𝐺 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem39.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem39.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem39.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem39.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem39 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem39
StepHypRef Expression
1 fzfid 13832 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0...𝑅) ∈ Fin)
2 reelprrecn 11101 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4 reopn 43421 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65tgioo2 24117 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
74, 6eleqtri 2836 . . . . . . 7 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9 etransclem39.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑃 ∈ ℕ)
11 etransclem39.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 etransclem39.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
14 elfznn0 13488 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
163, 8, 10, 12, 13, 15etransclem33 44402 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
1716adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
18 simplr 767 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1917, 18ffvelcdmd 7032 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
201, 19fsumcl 15577 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
21 etransclem39.g . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2220, 21fmptd 7058 1 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cpr 4586  cmpt 5186  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  cmin 11343  cn 12111  0cn0 12371  (,)cioo 13218  ...cfz 13378  cexp 13921  Σcsu 15529  cprod 15747  t crest 17261  TopOpenctopn 17262  topGenctg 17278  fldccnfld 20748   D𝑛 cdvn 25179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14127  df-bc 14156  df-hash 14184  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-clim 15329  df-sum 15530  df-prod 15748  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-starv 17107  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-unif 17115  df-hom 17116  df-cco 17117  df-rest 17263  df-topn 17264  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-topgen 17284  df-pt 17285  df-prds 17288  df-xrs 17343  df-qtop 17348  df-imas 17349  df-xps 17351  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-submnd 18561  df-mulg 18831  df-cntz 19055  df-cmn 19522  df-psmet 20740  df-xmet 20741  df-met 20742  df-bl 20743  df-mopn 20744  df-fbas 20745  df-fg 20746  df-cnfld 20749  df-top 22194  df-topon 22211  df-topsp 22233  df-bases 22247  df-cld 22321  df-ntr 22322  df-cls 22323  df-nei 22400  df-lp 22438  df-perf 22439  df-cn 22529  df-cnp 22530  df-haus 22617  df-tx 22864  df-hmeo 23057  df-fil 23148  df-fm 23240  df-flim 23241  df-flf 23242  df-xms 23624  df-ms 23625  df-tms 23626  df-cncf 24192  df-limc 25181  df-dv 25182  df-dvn 25183
This theorem is referenced by:  etransclem46  44415
  Copyright terms: Public domain W3C validator