Theorem etransclem39 47015

Description: 𝐺 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem39.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem39.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem39.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem39.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
etransclem39	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝐺(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0...𝑅) ∈ Fin)
2		reelprrecn 11196	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4		reopn 46036	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
5		tgioo4 24971	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6	4, 5	eleqtri 2861	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8		etransclem39.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		etransclem39.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		etransclem39.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
13		elfznn0 13653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
15	3, 7, 9, 11, 12, 14	etransclem33 47009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
16	15	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
17		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	1, 18	fsumcl 15789	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
20		etransclem39.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
21	19, 20	fmptd 7109	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   · cmul 11109   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  (,)cioo 13376  ...cfz 13539  ↑cexp 14102  Σcsu 15742  ∏cprod 15962   ↾_t crest 17477  TopOpenctopn 17478  topGenctg 17494  ℂ_fldccnfld 21531   D^𝑛 cdvn 26032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743  df-prod 15963  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035  df-dvn 26036

This theorem is used by:  etransclem46  47022