Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem44 44929
Description: The given finite sum is nonzero. This is the claim proved after equation (7) in [Juillerat] p. 12 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem44.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem44.a0 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
etransclem44.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem44.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
etransclem44.ap (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
etransclem44.mp (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
etransclem44.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem44.k 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem44 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem etransclem44
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem44.k . . . 4 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
3 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
4 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘˜((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
5 fzfi 13933 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
6 fzfi 13933 . . . . . . 7 (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin
7 xpfi 9313 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
10 etransclem44.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
12 fzssnn0 43962 . . . . . . . . . 10 (0...𝑀) βŠ† β„•0
13 xp1st 8002 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
1412, 13sselid 3979 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1611, 15ffvelcdmd 7083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
17 reelprrecn 11198 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
19 reopn 43934 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24301 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2219, 21eleqtri 2832 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
24 etransclem44.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
25 prmnn 16607 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2726adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
28 etransclem44.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
30 etransclem44.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 8003 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
32 elfznn0 13590 . . . . . . . . . 10 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3433adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3515nn0red 12529 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3615nn0zd 12580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3718, 23, 27, 29, 30, 34, 35, 36etransclem42 44927 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
3816, 37zmulcld 12668 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
3938zcnd 12663 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
40 nn0uz 12860 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4128, 40eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42 eluzfz1 13504 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
44 0zd 12566 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
4528nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4626nnzd 12581 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
4745, 46zmulcld 12668 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„€)
48 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4926, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5049nn0zd 12580 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5147, 50zaddcld 12666 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
5249nn0ge0d 12531 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
5326nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5428, 53nn0mulcld 12533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„•0)
5554nn0ge0d 12531 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑀 Β· 𝑃))
5649nn0red 12529 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5747zred 12662 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
5856, 57addge02d 11799 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝑀 Β· 𝑃) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
5955, 58mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
6044, 51, 50, 52, 59elfzd 13488 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
61 opelxp 5711 . . . . . 6 (⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
6243, 60, 61sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
63 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (1st β€˜π‘˜) = (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩))
64 0re 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
65 ovex 7437 . . . . . . . . 9 (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V
66 op1stg 7982 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = 0)
6764, 65, 66mp2an 691 . . . . . . . 8 (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = 0
6863, 67eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (1st β€˜π‘˜) = 0)
6968fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) = (π΄β€˜0))
70 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩))
71 op2ndg 7983 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = (𝑃 βˆ’ 1))
7264, 65, 71mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = (𝑃 βˆ’ 1)
7370, 72eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1))
7473fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
7574, 68fveq12d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) = (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
7669, 75oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) = ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)))
773, 4, 9, 39, 62, 76fsumsplit1 15687 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) = (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))))
7877oveq1d 7419 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
7912, 43sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
8010, 79ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„€)
8117a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8222a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
8364a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
8481, 82, 26, 28, 30, 49, 83, 44etransclem42 44927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„€)
8580, 84zmulcld 12668 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) ∈ β„€)
8685zcnd 12663 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) ∈ β„‚)
87 difss 4130 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) βŠ† ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
88 ssfi 9169 . . . . . . . 8 ((((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin ∧ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) βŠ† ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin)
898, 87, 88mp2an 691 . . . . . . 7 (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin
9089a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin)
91 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
9291, 38sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
9390, 92fsumzcl 15677 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
9493zcnd 12663 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
9549faccld 14240 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
9695nncnd 12224 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9795nnne0d 12258 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
9886, 94, 96, 97divdird 12024 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
992, 78, 983eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
10026nnne0d 12258 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
10180zcnd 12663 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
10284zcnd 12663 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„‚)
103101, 102, 96, 97divassd 12021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
104 etransclem5 44890 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
105 etransclem11 44896 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
10681, 82, 26, 28, 30, 49, 104, 105, 43, 83etransclem37 44922 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
10795nnzd 12581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
108 dvdsval2 16196 . . . . . . 7 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
109107, 97, 84, 108syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
110106, 109mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
11180, 110zmulcld 12668 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
112103, 111eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
11391, 39sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
11490, 96, 113, 97fsumdivc 15728 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
11516zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11691, 115sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11791, 37sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
118117zcnd 12663 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11996adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
12097adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
121116, 118, 119, 120divassd 12021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
12291, 16sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
12317a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
12422a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
12526adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
12628adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
12791adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
128127, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
129127, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
13091, 35sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
131123, 124, 125, 126, 30, 128, 104, 105, 129, 130etransclem37 44922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))
132107adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
133 dvdsval2 16196 . . . . . . . . 9 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
134132, 120, 117, 133syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
135131, 134mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
136122, 135zmulcld 12668 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
137121, 136eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
13890, 137fsumzcl 15677 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
139114, 138eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
140 1zzd 12589 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
141 zabscl 15256 . . . . . . . . . . 11 ((π΄β€˜0) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€)
14280, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€)
143 nn0abscl 15255 . . . . . . . . . . . . 13 ((π΄β€˜0) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0)
14480, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0)
145 etransclem44.a0 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
146101, 145absne0d 15390 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) β‰  0)
147 elnnne0 12482 . . . . . . . . . . . 12 ((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„• ↔ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0 ∧ (absβ€˜(π΄β€˜0)) β‰  0))
148144, 146, 147sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•)
149148nnge1d 12256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
150 etransclem44.ap . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
151 zltlem1 12611 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃 ↔ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1)))
152142, 46, 151syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃 ↔ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1)))
153150, 152mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
154140, 50, 142, 149, 153elfzd 13488 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
155 fzm1ndvds 16261 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
15626, 154, 155syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
157 dvdsabsb 16215 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜0) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0))))
15846, 80, 157syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0))))
159156, 158mtbird 325 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0))
160 etransclem44.mp . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
16128, 24, 160, 30etransclem41 44926 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
162159, 161jca 513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∧ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
163 pm4.56 988 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∧ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ Β¬ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
164162, 163sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
165 euclemma 16646 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (π΄β€˜0) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
16624, 80, 110, 165syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
167164, 166mtbird 325 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
168103breq2d 5159 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
169167, 168mtbird 325 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
17046adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
171170, 122, 1353jca 1129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
172 eldifn 4126 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})
17391adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
174 1st2nd2 8009 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ π‘˜ = ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ = ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩)
176 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ (1st β€˜π‘˜) = 0)
177 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1))
178176, 177opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
179178adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
180175, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
181 velsn 4643 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩} ↔ π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
182180, 181sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})
183172, 182mtand 815 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ Β¬ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0))
184183adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ Β¬ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0))
185125, 126, 30, 128, 129, 184, 105etransclem38 44923 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
186 dvdsmultr2 16237 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
187171, 185, 186sylc 65 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
188187, 121breqtrrd 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
18990, 46, 137, 188fsumdvds 16247 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
190189, 114breqtrrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
19146, 100, 112, 139, 169, 190etransclem9 44894 . 2 (πœ‘ β†’ ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) β‰  0)
19299, 191eqnetrd 3009 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  1st c1st 7968  2nd c2nd 7969   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  !cfa 14229  abscabs 15177  Ξ£csu 15628  βˆcprod 15845   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20929   D𝑛 cdvn 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-dvn 25367
This theorem is referenced by:  etransclem47  44932
  Copyright terms: Public domain W3C validator