Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem44 45292
Description: The given finite sum is nonzero. This is the claim proved after equation (7) in [Juillerat] p. 12 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem44.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem44.a0 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
etransclem44.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem44.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
etransclem44.ap (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
etransclem44.mp (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
etransclem44.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem44.k 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem44 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem etransclem44
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem44.k . . . 4 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
3 nfv 1915 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
4 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘˜((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
5 fzfi 13941 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
6 fzfi 13941 . . . . . . 7 (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin
7 xpfi 9319 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
85, 6, 7mp2an 688 . . . . . 6 ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
10 etransclem44.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
12 fzssnn0 44325 . . . . . . . . . 10 (0...𝑀) βŠ† β„•0
13 xp1st 8009 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
1412, 13sselid 3979 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1611, 15ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
17 reelprrecn 11204 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
19 reopn 44297 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24539 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2219, 21eleqtri 2829 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
24 etransclem44.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
25 prmnn 16615 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
28 etransclem44.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2928adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
30 etransclem44.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 8010 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
32 elfznn0 13598 . . . . . . . . . 10 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3433adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3515nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3615nn0zd 12588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3718, 23, 27, 29, 30, 34, 35, 36etransclem42 45290 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
3816, 37zmulcld 12676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
3938zcnd 12671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
40 nn0uz 12868 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4128, 40eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42 eluzfz1 13512 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
44 0zd 12574 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
4528nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4626nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
4745, 46zmulcld 12676 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„€)
48 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4926, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5049nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5147, 50zaddcld 12674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
5249nn0ge0d 12539 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
5326nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5428, 53nn0mulcld 12541 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„•0)
5554nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑀 Β· 𝑃))
5649nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5747zred 12670 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
5856, 57addge02d 11807 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝑀 Β· 𝑃) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
5955, 58mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
6044, 51, 50, 52, 59elfzd 13496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
61 opelxp 5711 . . . . . 6 (⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
6243, 60, 61sylanbrc 581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
63 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (1st β€˜π‘˜) = (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩))
64 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
65 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V
66 op1stg 7989 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = 0)
6764, 65, 66mp2an 688 . . . . . . . 8 (1st β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = 0
6863, 67eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (1st β€˜π‘˜) = 0)
6968fveq2d 6894 . . . . . 6 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) = (π΄β€˜0))
70 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩))
71 op2ndg 7990 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = (𝑃 βˆ’ 1))
7264, 65, 71mp2an 688 . . . . . . . . 9 (2nd β€˜βŸ¨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩) = (𝑃 βˆ’ 1)
7370, 72eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1))
7473fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
7574, 68fveq12d 6897 . . . . . 6 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) = (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
7669, 75oveq12d 7429 . . . . 5 (π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩ β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) = ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)))
773, 4, 9, 39, 62, 76fsumsplit1 15695 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) = (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))))
7877oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
7912, 43sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
8010, 79ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„€)
8117a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8222a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
8364a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
8481, 82, 26, 28, 30, 49, 83, 44etransclem42 45290 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„€)
8580, 84zmulcld 12676 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) ∈ β„€)
8685zcnd 12671 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) ∈ β„‚)
87 difss 4130 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) βŠ† ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
88 ssfi 9175 . . . . . . . 8 ((((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin ∧ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) βŠ† ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin)
898, 87, 88mp2an 688 . . . . . . 7 (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin
9089a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∈ Fin)
91 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
9291, 38sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
9390, 92fsumzcl 15685 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„€)
9493zcnd 12671 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
9549faccld 14248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
9695nncnd 12232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9795nnne0d 12266 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
9886, 94, 96, 97divdird 12032 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
992, 78, 983eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
10026nnne0d 12266 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
10180zcnd 12671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
10284zcnd 12671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„‚)
103101, 102, 96, 97divassd 12029 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
104 etransclem5 45253 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
105 etransclem11 45259 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
10681, 82, 26, 28, 30, 49, 104, 105, 43, 83etransclem37 45285 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0))
10795nnzd 12589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
108 dvdsval2 16204 . . . . . . 7 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
109107, 97, 84, 108syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
110106, 109mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
11180, 110zmulcld 12676 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
112103, 111eqeltrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
11391, 39sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
11490, 96, 113, 97fsumdivc 15736 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
11516zcnd 12671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11691, 115sylan2 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11791, 37sylan2 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
118117zcnd 12671 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11996adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
12097adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
121116, 118, 119, 120divassd 12029 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
12291, 16sylan2 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
12317a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
12422a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
12526adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
12628adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
12791adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
128127, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
129127, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
13091, 35sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
131123, 124, 125, 126, 30, 128, 104, 105, 129, 130etransclem37 45285 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))
132107adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
133 dvdsval2 16204 . . . . . . . . 9 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
134132, 120, 117, 133syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
135131, 134mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
136122, 135zmulcld 12676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
137121, 136eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
13890, 137fsumzcl 15685 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
139114, 138eqeltrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
140 1zzd 12597 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
141 zabscl 15264 . . . . . . . . . . 11 ((π΄β€˜0) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€)
14280, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€)
143 nn0abscl 15263 . . . . . . . . . . . . 13 ((π΄β€˜0) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0)
14480, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0)
145 etransclem44.a0 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
146101, 145absne0d 15398 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) β‰  0)
147 elnnne0 12490 . . . . . . . . . . . 12 ((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„• ↔ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•0 ∧ (absβ€˜(π΄β€˜0)) β‰  0))
148144, 146, 147sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„•)
149148nnge1d 12264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
150 etransclem44.ap . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
151 zltlem1 12619 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃 ↔ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1)))
152142, 46, 151syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃 ↔ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1)))
153150, 152mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
154140, 50, 142, 149, 153elfzd 13496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
155 fzm1ndvds 16269 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (absβ€˜(π΄β€˜0)) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
15626, 154, 155syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0)))
157 dvdsabsb 16223 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜0) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0))))
15846, 80, 157syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π΄β€˜0))))
159156, 158mtbird 324 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0))
160 etransclem44.mp . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
16128, 24, 160, 30etransclem41 45289 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
162159, 161jca 510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∧ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
163 pm4.56 985 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∧ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ Β¬ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
164162, 163sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
165 euclemma 16654 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (π΄β€˜0) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
16624, 80, 110, 165syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π΄β€˜0) ∨ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
167164, 166mtbird 324 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
168103breq2d 5159 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜0) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
169167, 168mtbird 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
17046adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
171170, 122, 1353jca 1126 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ (𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
172 eldifn 4126 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})
17391adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))))
174 1st2nd2 8016 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ π‘˜ = ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ = ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩)
176 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ (1st β€˜π‘˜) = 0)
177 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ (2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1))
178176, 177opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0) β†’ ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
179178adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ ⟨(1st β€˜π‘˜), (2nd β€˜π‘˜)⟩ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
180175, 179eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
181 velsn 4643 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩} ↔ π‘˜ = ⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩)
182180, 181sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) ∧ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0)) β†’ π‘˜ ∈ {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})
183172, 182mtand 812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩}) β†’ Β¬ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0))
184183adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ Β¬ ((2nd β€˜π‘˜) = (𝑃 βˆ’ 1) ∧ (1st β€˜π‘˜) = 0))
185125, 126, 30, 128, 129, 184, 105etransclem38 45286 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
186 dvdsmultr2 16245 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))))
187171, 185, 186sylc 65 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
188187, 121breqtrrd 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})) β†’ 𝑃 βˆ₯ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
18990, 46, 137, 188fsumdvds 16255 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
190189, 114breqtrrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
19146, 100, 112, 139, 169, 190etransclem9 45257 . 2 (πœ‘ β†’ ((((π΄β€˜0) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) + (Ξ£π‘˜ ∈ (((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ– {⟨0, (𝑃 βˆ’ 1)⟩})((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) β‰  0)
19299, 191eqnetrd 3006 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  !cfa 14237  abscabs 15185  Ξ£csu 15636  βˆcprod 15853   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144   D𝑛 cdvn 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617
This theorem is referenced by:  etransclem47  45295
  Copyright terms: Public domain W3C validator