Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem45 44995
Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem45.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem45.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem45.k 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑗,π‘˜)
Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 fzfi 13937 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 13937 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 9317 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12513 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
109faccld 14244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
1110nncnd 12228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
14 xp1st 8007 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1813, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
1918zcnd 12667 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
20 reelprrecn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
22 reopn 43999 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2522, 24eleqtri 2832 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
277adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 8008 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3433adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 44983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)):β„βŸΆβ„‚)
3617nn0red 12533 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3819, 37mulcld 11234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
3910nnne0d 12262 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 15732 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
4111adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
4319, 37, 41, 42divassd 12025 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
44 etransclem5 44955 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
45 etransclem11 44961 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
4614adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 44987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))
4810nnzd 12585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4948adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
5017nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„€)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 44992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
52 dvdsval2 16200 . . . . . . . 8 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5447, 53mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5518, 54zmulcld 12672 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
5643, 55eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
576, 56fsumzcl 15681 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5840, 57eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
591, 58eqeltrid 2838 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849   βˆ₯ cdvds 16197   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  etransclem47  44997
  Copyright terms: Public domain W3C validator