Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem45 46294
Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem45.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem45.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem45.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
2 fzfi 14013 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 14013 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 9358 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 692 . . . . 5 ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 12567 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
109faccld 14323 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
1110nncnd 12282 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
14 xp1st 8046 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1813, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
1918zcnd 12723 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
20 reelprrecn 11247 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
22 reopn 45301 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
23 tgioo4 24826 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2422, 23eleqtri 2839 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
267adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑃 ∈ ℕ)
27 etransclem45.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
29 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
30 xp2nd 8047 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ (0...𝑅))
31 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 ((2nd𝑘) ∈ (0...𝑅) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3421, 25, 26, 28, 29, 33etransclem33 46282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
3517nn0red 12588 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3634, 35ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
3719, 36mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
3810nnne0d 12316 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
396, 11, 37, 38fsumdivc 15822 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4011adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4138adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
4219, 36, 40, 41divassd 12078 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
43 etransclem5 46254 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
44 etransclem11 46260 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
4514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
4621, 25, 26, 28, 29, 33, 43, 44, 45, 35etransclem37 46286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
4710nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
4917nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
5021, 25, 26, 28, 29, 33, 35, 49etransclem42 46291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
51 dvdsval2 16293 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5248, 41, 50, 51syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5346, 52mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5418, 53zmulcld 12728 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
5542, 54eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
566, 55fsumzcl 15771 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5739, 56eqeltrd 2841 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
581, 57eqeltrid 2845 1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722  cprod 15939  cdvds 16290  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364   D𝑛 cdvn 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903
This theorem is referenced by:  etransclem47  46296
  Copyright terms: Public domain W3C validator