Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem45 42964
 Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem45.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem45.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem45.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
2 fzfi 13338 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 13338 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 8776 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11929 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
109faccld 13643 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
1110nncnd 11644 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
14 xp1st 7706 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 12998 . . . . . . . . 9 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1813, 17ffvelrnd 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
1918zcnd 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
20 reelprrecn 10621 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
22 reopn 41963 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
23 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 23418 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2522, 24eleqtri 2888 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
277adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑃 ∈ ℕ)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 7707 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 12998 . . . . . . . . 9 ((2nd𝑘) ∈ (0...𝑅) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3433adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 42952 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
3617nn0red 11947 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelrnd 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
3819, 37mulcld 10653 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
3910nnne0d 11678 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 15136 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4111adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4239adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
4319, 37, 41, 42divassd 11443 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
44 etransclem5 42924 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
45 etransclem11 42930 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
4614adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 42956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
4810nnzd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
4948adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
5017nn0zd 12076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 42961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
52 dvdsval2 15605 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5447, 53mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5518, 54zmulcld 12084 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
5643, 55eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
576, 56fsumzcl 15087 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5840, 57eqeltrd 2890 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
591, 58eqeltrid 2894 1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  ifcif 4425  {cpr 4527   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  ran crn 5521  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1st c1st 7672  2nd c2nd 7673   ↑m cmap 8392  Fincfn 8495  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  (,)cioo 12729  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  !cfa 13632  Σcsu 15037  ∏cprod 15254   ∥ cdvds 15602   ↾t crest 16689  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  ℂfldccnfld 20095   D𝑛 cdvn 24477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-prod 15255  df-dvds 15603  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480  df-dvn 24481 This theorem is referenced by:  etransclem47  42966
 Copyright terms: Public domain W3C validator