Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem45 45295
Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem45.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem45.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem45.k 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑗,π‘˜)
Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 fzfi 13942 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 13942 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 9320 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 689 . . . . 5 ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12518 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
109faccld 14249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
1110nncnd 12233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
14 xp1st 8010 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 13599 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1813, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
1918zcnd 12672 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
20 reelprrecn 11205 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
22 reopn 44299 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
23 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24540 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2522, 24eleqtri 2830 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
277adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 8011 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 13599 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 45283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)):β„βŸΆβ„‚)
3617nn0red 12538 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3819, 37mulcld 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
3910nnne0d 12267 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 15737 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
4111adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
4319, 37, 41, 42divassd 12030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
44 etransclem5 45255 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
45 etransclem11 45261 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
4614adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 45287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))
4810nnzd 12590 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
5017nn0zd 12589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„€)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 45292 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
52 dvdsval2 16205 . . . . . . . 8 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5447, 53mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5518, 54zmulcld 12677 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
5643, 55eqeltrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
576, 56fsumzcl 15686 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5840, 57eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
591, 58eqeltrid 2836 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {crab 3431  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977   ↑m cmap 8823  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ξ£csu 15637  βˆcprod 15854   βˆ₯ cdvds 16202   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145   D𝑛 cdvn 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-prod 15855  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-dvn 25618
This theorem is referenced by:  etransclem47  45297
  Copyright terms: Public domain W3C validator