Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem45 44981
Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem45.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem45.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem45.k 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑗,π‘˜)
Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 fzfi 13933 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 13933 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 9313 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12509 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
109faccld 14240 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
1110nncnd 12224 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
14 xp1st 8003 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1813, 17ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
1918zcnd 12663 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
20 reelprrecn 11198 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
22 reopn 43985 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24310 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2522, 24eleqtri 2831 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
277adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 8004 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅)) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 44969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)):β„βŸΆβ„‚)
3617nn0red 12529 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3819, 37mulcld 11230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
3910nnne0d 12258 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 15728 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
4111adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
4319, 37, 41, 42divassd 12021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
44 etransclem5 44941 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
45 etransclem11 44947 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
4614adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 44973 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)))
4810nnzd 12581 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
5017nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„€)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 44978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
52 dvdsval2 16196 . . . . . . . 8 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€))
5447, 53mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5518, 54zmulcld 12668 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
5643, 55eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))) β†’ (((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
576, 56fsumzcl 15677 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))(((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
5840, 57eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...𝑅))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
591, 58eqeltrid 2837 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  !cfa 14229  Ξ£csu 15628  βˆcprod 15845   βˆ₯ cdvds 16193   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936   D𝑛 cdvn 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376
This theorem is referenced by:  etransclem47  44983
  Copyright terms: Public domain W3C validator