Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem47 46296
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem47.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem47.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem47.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem47.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem47.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem47.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem47.ap (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
etransclem47.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem47.9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
etransclem47.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem47.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem47.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem47 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑄,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem47
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem47.k . . . . 5 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))))
3 etransclem47.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
4 etransclem47.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
5 etransclem47.a . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝑄)
6 etransclem47.m . . . . 5 𝑀 = (deg‘𝑄)
7 ssid 4006 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
9 reelprrecn 11247 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11 reopn 45301 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 tgioo4 24826 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1311, 12eleqtri 2839 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
15 etransclem47.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmnn 16711 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
18 etransclem47.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
19 etransclem47.l . . . . 5 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
20 eqid 2737 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) = ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))
21 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2221sumeq2sdv 15739 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2322cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
24 negeq 11500 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
2524oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (e↑𝑐-𝑧) = (e↑𝑐-𝑥))
26 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥))
2725, 26oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = ((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
2827negeqd 11502 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
2928cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
303, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 17, 18, 19, 20, 23, 29etransclem46 46295 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
31 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
32 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin)
33 xpfi 9358 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
353eldifad 3963 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
36 0zd 12625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
375coef2 26270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
40 xp1st 8046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
41 elfznn0 13660 . . . . . . . . . . . 12 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4439, 43ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
4544zcnd 12723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
469a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4713a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑃 ∈ ℕ)
49 dgrcl 26272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
5035, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
516, 50eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
53 xp2nd 8047 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
54 elfznn0 13660 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5655adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5746, 47, 48, 52, 18, 56etransclem33 46282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
5843nn0red 12588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
5957, 58ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
6045, 59mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
6134, 60fsumcl 15769 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
62 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6317, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6463faccld 14323 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6564nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6664nnne0d 12316 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6761, 65, 66divnegd 12056 . . . . 5 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
6867eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
692, 30, 683eqtrd 2781 . . 3 (𝜑𝐾 = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
70 eqid 2737 . . . . 5 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
7117, 51, 18, 38, 70etransclem45 46294 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7271znegcld 12724 . . 3 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7369, 72eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
741, 30eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐾 = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
7561, 65, 66divcld 12043 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
76 etransclem47.a0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
77 etransclem47.ap . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
78 etransclem47.mp . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
7938, 76, 51, 15, 77, 78, 18, 70etransclem44 46293 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8075, 79negne0d 11618 . . . 4 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8168, 80eqnetrd 3008 . . 3 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8274, 81eqnetrd 3008 . 2 (𝜑𝐾 ≠ 0)
83 eldifsni 4790 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
843, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄 ≠ 0𝑝)
85 ere 16125 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
8685recni 11275 . . . . . 6 e ∈ ℂ
8786a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
88 dgrnznn 26286 . . . . 5 (((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ∧ (e ∈ ℂ ∧ (𝑄‘e) = 0)) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
8935, 84, 87, 4, 88syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
906, 89eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
91 etransclem47.9 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
9238, 19, 1, 17, 90, 18, 91etransclem23 46272 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
93 neeq1 3003 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ≠ 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
94 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘𝑘) = (abs‘𝐾))
9594breq1d 5153 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘𝑘) < 1 ↔ (abs‘𝐾) < 1))
9693, 95anbi12d 632 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1) ↔ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)))
9796rspcev 3622 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
9873, 82, 92, 97syl12anc 837 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  abscabs 15273  Σcsu 15722  cprod 15939  eceu 16098  cprime 16708  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  citg 25653  0𝑝c0p 25704   D𝑛 cdvn 25899  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  etransclem48  46297
  Copyright terms: Public domain W3C validator