Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem47 45902
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem47.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem47.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem47.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem47.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem47.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem47.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem47.ap (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
etransclem47.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem47.9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
etransclem47.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem47.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem47.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem47 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑄,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem47
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem47.k . . . . 5 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))))
3 etransclem47.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
4 etransclem47.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
5 etransclem47.a . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝑄)
6 etransclem47.m . . . . 5 𝑀 = (deg‘𝑄)
7 ssid 4002 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
9 reelprrecn 11250 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11 reopn 44904 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312tgioo2 24810 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1411, 13eleqtri 2824 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
16 etransclem47.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
17 prmnn 16675 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
19 etransclem47.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
20 etransclem47.l . . . . 5 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
21 eqid 2726 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) = ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))
22 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2322sumeq2sdv 15708 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2423cbvmptv 5266 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
25 negeq 11502 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
2625oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (e↑𝑐-𝑧) = (e↑𝑐-𝑥))
27 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥))
2826, 27oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = ((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
2928negeqd 11504 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
3029cbvmptv 5266 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
313, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 24, 30etransclem46 45901 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
32 fzfid 13993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
33 fzfid 13993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin)
34 xpfi 9360 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
363eldifad 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
37 0zd 12622 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
385coef2 26258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
3936, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
4039adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
41 xp1st 8035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
42 elfznn0 13648 . . . . . . . . . . . 12 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4540, 44ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
4645zcnd 12719 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
479a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4918adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑃 ∈ ℕ)
50 dgrcl 26260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
5136, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
526, 51eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5352adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
54 xp2nd 8036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
55 elfznn0 13648 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5756adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5847, 48, 49, 53, 19, 57etransclem33 45888 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
5944nn0red 12585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
6058, 59ffvelcdmd 7099 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
6146, 60mulcld 11284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
6235, 61fsumcl 15737 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
63 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6418, 63syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6564faccld 14301 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6665nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6765nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6862, 66, 67divnegd 12054 . . . . 5 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
6968eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
702, 31, 693eqtrd 2770 . . 3 (𝜑𝐾 = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
71 eqid 2726 . . . . 5 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
7218, 52, 19, 39, 71etransclem45 45900 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7372znegcld 12720 . . 3 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7470, 73eqeltrd 2826 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
751, 31eqtrid 2778 . . 3 (𝜑𝐾 = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
7662, 66, 67divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
77 etransclem47.a0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
78 etransclem47.ap . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
79 etransclem47.mp . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
8039, 77, 52, 16, 78, 79, 19, 71etransclem44 45899 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8176, 80negne0d 11619 . . . 4 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8269, 81eqnetrd 2998 . . 3 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8375, 82eqnetrd 2998 . 2 (𝜑𝐾 ≠ 0)
84 eldifsni 4799 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
853, 84syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄 ≠ 0𝑝)
86 ere 16091 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
8786recni 11278 . . . . . 6 e ∈ ℂ
8887a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
89 dgrnznn 26274 . . . . 5 (((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ∧ (e ∈ ℂ ∧ (𝑄‘e) = 0)) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
9036, 85, 88, 4, 89syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
916, 90eqeltrid 2830 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
92 etransclem47.9 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
9339, 20, 1, 18, 91, 19, 92etransclem23 45878 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
94 neeq1 2993 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ≠ 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
95 fveq2 6901 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘𝑘) = (abs‘𝐾))
9695breq1d 5163 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘𝑘) < 1 ↔ (abs‘𝐾) < 1))
9794, 96anbi12d 630 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1) ↔ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)))
9897rspcev 3608 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
9974, 83, 93, 98syl12anc 835 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cmpt 5236   × cxp 5680  ran crn 5683  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  1st c1st 8001  2nd c2nd 8002  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  (,)cioo 13378  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  cexp 14081  !cfa 14290  abscabs 15239  Σcsu 15690  cprod 15907  eceu 16064  cprime 16672  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  fldccnfld 21343  citg 25638  0𝑝c0p 25689   D𝑛 cdvn 25884  Polycply 26211  coeffccoe 26213  degcdgr 26214  𝑐ccxp 26582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-symdif 4244  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-prod 15908  df-ef 16069  df-e 16070  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-itg 25643  df-0p 25690  df-limc 25886  df-dv 25887  df-dvn 25888  df-ply 26215  df-coe 26217  df-dgr 26218  df-log 26583  df-cxp 26584
This theorem is referenced by:  etransclem48  45903
  Copyright terms: Public domain W3C validator