Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem47 44997
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem47.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝}))
etransclem47.qe0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜e) = 0)
etransclem47.a 𝐴 = (coeffβ€˜π‘„)
etransclem47.a0 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
etransclem47.m 𝑀 = (degβ€˜π‘„)
etransclem47.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
etransclem47.ap (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
etransclem47.mp (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
etransclem47.9 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
etransclem47.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem47.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
etransclem47.k 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem47 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ β‰  0 ∧ (absβ€˜π‘˜) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐾   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑄,𝑗   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝑄(π‘₯,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑗)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem etransclem47
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem47.k . . . . 5 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
3 etransclem47.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝}))
4 etransclem47.qe0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜e) = 0)
5 etransclem47.a . . . . 5 𝐴 = (coeffβ€˜π‘„)
6 etransclem47.m . . . . 5 𝑀 = (degβ€˜π‘„)
7 ssid 4005 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
9 reelprrecn 11202 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
11 reopn 43999 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1312tgioo2 24319 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
1411, 13eleqtri 2832 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
1514a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
16 etransclem47.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
17 prmnn 16611 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
19 etransclem47.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
20 etransclem47.l . . . . 5 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
21 eqid 2733 . . . . 5 ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) = ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))
22 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
2322sumeq2sdv 15650 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
2423cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
25 negeq 11452 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ -𝑧 = -π‘₯)
2625oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (e↑𝑐-𝑧) = (e↑𝑐-π‘₯))
27 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯))
2826, 27oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((e↑𝑐-𝑧) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘§)) = ((e↑𝑐-π‘₯) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯)))
2928negeqd 11454 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ -((e↑𝑐-𝑧) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘§)) = -((e↑𝑐-π‘₯) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯)))
3029cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑧) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-π‘₯) Β· ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯)))
313, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 24, 30etransclem46 44996 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (-Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
32 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
33 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin)
34 xpfi 9317 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) ∈ Fin) β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ Fin)
363eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„€))
37 0zd 12570 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
385coef2 25745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
4039adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
41 xp1st 8007 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀))
42 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑀) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
4540, 44ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„€)
4645zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
479a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
4814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4918adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
50 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
5136, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
526, 51eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5352adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
54 xp2nd 8008 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
55 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd β€˜π‘˜) ∈ (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5756adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (2nd β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5847, 48, 49, 53, 19, 57etransclem33 44983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜)):β„βŸΆβ„‚)
5944nn0red 12533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (1st β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6058, 59ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
6146, 60mulcld 11234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))) β†’ ((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
6235, 61fsumcl 15679 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
63 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6418, 63syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6564faccld 14244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
6665nncnd 12228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6765nnne0d 12262 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
6862, 66, 67divnegd 12003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (-Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
6968eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = -(Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
702, 31, 693eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = -(Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
71 eqid 2733 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
7218, 52, 19, 39, 71etransclem45 44995 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
7372znegcld 12668 . . 3 (πœ‘ β†’ -(Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
7470, 73eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
751, 31eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (-Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
7662, 66, 67divcld 11990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
77 etransclem47.a0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) β‰  0)
78 etransclem47.ap . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π΄β€˜0)) < 𝑃)
79 etransclem47.mp . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘€) < 𝑃)
8039, 77, 52, 16, 78, 79, 19, 71etransclem44 44994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β‰  0)
8176, 80negne0d 11569 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β‰  0)
8269, 81eqnetrd 3009 . . 3 (πœ‘ β†’ (-Ξ£π‘˜ ∈ ((0...𝑀) Γ— (0...((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))((π΄β€˜(1st β€˜π‘˜)) Β· (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(2nd β€˜π‘˜))β€˜(1st β€˜π‘˜))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β‰  0)
8375, 82eqnetrd 3009 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
84 eldifsni 4794 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ((Polyβ€˜β„€) βˆ– {0𝑝}) β†’ 𝑄 β‰  0𝑝)
853, 84syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  0𝑝)
86 ere 16032 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
8786recni 11228 . . . . . 6 e ∈ β„‚
8887a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ e ∈ β„‚)
89 dgrnznn 25761 . . . . 5 (((𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 𝑄 β‰  0𝑝) ∧ (e ∈ β„‚ ∧ (π‘„β€˜e) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•)
9036, 85, 88, 4, 89syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•)
916, 90eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
92 etransclem47.9 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
9339, 20, 1, 18, 91, 19, 92etransclem23 44973 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
94 neeq1 3004 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘˜ β‰  0 ↔ 𝐾 β‰  0))
95 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (absβ€˜π‘˜) = (absβ€˜πΎ))
9695breq1d 5159 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((absβ€˜π‘˜) < 1 ↔ (absβ€˜πΎ) < 1))
9794, 96anbi12d 632 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘˜ β‰  0 ∧ (absβ€˜π‘˜) < 1) ↔ (𝐾 β‰  0 ∧ (absβ€˜πΎ) < 1)))
9897rspcev 3613 . 2 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝐾 β‰  0 ∧ (absβ€˜πΎ) < 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ β‰  0 ∧ (absβ€˜π‘˜) < 1))
9974, 83, 93, 98syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ β‰  0 ∧ (absβ€˜π‘˜) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  abscabs 15181  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849  eceu 16006  β„™cprime 16608   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  βˆ«citg 25135  0𝑝c0p 25186   D𝑛 cdvn 25381  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  etransclem48  44998
  Copyright terms: Public domain W3C validator