Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem23 45273
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
etransclem23.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem23.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
etransclem23.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗)   𝐿(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables β„Ž π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
32oveq1i 7422 . . . . . 6 (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
41, 3eqtri 2759 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
54fveq2i 6895 . . . 4 (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
7 fzfid 13943 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
10 elfznn0 13599 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
129, 11ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„€)
1312zcnd 12672 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 ere 16037 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 11233 . . . . . . . . 9 e ∈ β„‚
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ e ∈ β„‚)
17 elfzelz 13506 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1817zcnd 12672 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
2016, 19cxpcld 26449 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (e↑𝑐𝑗) ∈ β„‚)
2113, 20mulcld 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) ∈ β„‚)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ β„‚)
23 elioore 13359 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2423recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2625negcld 11563 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
2722, 26cxpcld 26449 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
28 ax-resscn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 45258 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3533, 34ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3635adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3727, 36mulcld 11239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
38 reelprrecn 11205 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
40 reopn 44299 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241tgioo2 24540 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4340, 42eleqtri 2830 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4530adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4746nnnn0d 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
49 etransclem6 45256 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
50 etransclem6 45256 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2763 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
52 0red 11222 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5317zred 12671 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 45268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 25534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
5721, 56mulcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
587, 57fsumcl 15684 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
59 nnm1nn0 12518 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6160faccld 14249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
6261nncnd 12233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6361nnne0d 12267 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
6458, 62, 63absdivd 15407 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
6561nnred 12232 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 12537 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
6766nn0ge0d 12540 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6865, 67absidd 15374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6968oveq2d 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
706, 64, 693eqtrd 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
712, 58eqeltrid 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
7271, 62, 63divcld 11995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
731, 72eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
7473abscld 15388 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
7876, 77reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8178, 80reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
8346nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8482, 83mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
86 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
8785, 86npcand 11580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
8988oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
9080nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9190, 85mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1) Β· 𝑃) = (𝑃 Β· (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 14119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 14119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
9897, 60expp1d 14117 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10283, 101, 97mul12d 11428 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
104101, 103mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
105102, 104eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
107106adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
108107oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
10921abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ β„‚)
111103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
112101adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
113110, 111, 112mulassd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
114108, 113eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
115114sumeq2dv 15654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
116110, 111mulcld 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
1177, 101, 116fsummulc1 15736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
118115, 117eqtr4d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
119118oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1207, 116fsumcl 15684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
121120, 101, 62, 63divassd 12030 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
122119, 121eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
12381adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 11249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 11249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 15685 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 12271 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 11220 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13158abscld 15388 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 15388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 15685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 15752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
13681ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑗)
141 volioo 25319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑗) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
14353, 139resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
147 iblconstmpt 44972 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 25548 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 11249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 15685 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 15406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
15356abscld 15388 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15421absge0d 15396 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 15388 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 25579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 25548 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 25585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯)
15927, 36absmuld 15406 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
16027abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ∈ ℝ)
161 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
16236abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16327absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)))
16436absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ e ∈ ℝ)
166 0re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 16155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≀ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ e)
17023renegcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 26464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 26465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ (e↑𝑐-π‘₯))
173171, 172absidd 15374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
174173adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
175171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
176 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
177 0xr 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 44508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
18423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0 < π‘₯ ↔ -π‘₯ < 0))
186183, 185mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ ℝ)
188 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 16154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) β†’ 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 < e)
196170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
197 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 26460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (-π‘₯ < 0 ↔ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 26411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ β„‚ β†’ (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < 1)
203175, 176, 202ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ≀ 1)
204174, 203eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
205204adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
20730ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
20847ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
20931, 49eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
21023adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 45263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
213 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
21423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
215 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ ℝ)
216215adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
218217adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
220219ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
221218, 220reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
223213, 208, 222fprodabs 15923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
224 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
22524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
226 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ β„‚)
227226adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
228225, 227subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
229228adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
230224, 229sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
231219ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
232230, 231absexpd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 15872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
235 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²β„Ž((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
238237abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
239238adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
242241adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
243239, 231, 242expge0d 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
24824adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
249224, 227sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
250248, 249negsubdi2d 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
251250adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
252224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
253252nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
254 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
255210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
256 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
258197, 184, 183ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
259258adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
260259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
26283subid1d 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž))
267 elfzel2 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
268267zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 44523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
273 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
277276adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
278277adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
279252nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ β„Ž)
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
281280, 263breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
282247, 245absled 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∧ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)
284 leexp1a 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
28646nnge1d 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
287286ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 1 ≀ 𝑀)
288219nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€)
28977nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
290 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
291290adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
29230nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
294293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
296 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
300297, 299eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
302 eluz2 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ↔ (if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 15945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃))
30878recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚)
309 fprodconst 15927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
311 hashfz0 14397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 25560 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 12159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
326152, 325eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
3277, 133, 150, 326fsumle 15750 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
328 itgconst 25569 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 14134 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑃))
33278, 80, 331expge0d 14134 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
337336adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 12159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))) ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 12159 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 15750 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 11376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 11376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 13079 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
345344, 122breqtrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 11377 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 5171 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  β™―chash 14295  abscabs 15186  Ξ£csu 15637  βˆcprod 15854  eceu 16011   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  volcvol 25213  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368  β†‘𝑐ccxp 26297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299
This theorem is referenced by:  etransclem47  45297
  Copyright terms: Public domain W3C validator