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Theorem etransclem23 41114
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
etransclem23.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem23.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
etransclem23.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
32oveq1i 6854 . . . . . 6 (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
41, 3eqtri 2787 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
54fveq2i 6380 . . . 4 (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1))))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))))
7 fzfid 12983 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
98adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
10 elfznn0 12643 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
129, 11ffvelrnd 6552 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
1312zcnd 11733 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 ere 15104 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 10310 . . . . . . . . 9 e ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
17 elfzelz 12552 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1817zcnd 11733 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
1918adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2016, 19cxpcld 24748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
2113, 20mulcld 10316 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℂ)
23 elioore 12410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10324 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625negcld 10635 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℂ)
2722, 26cxpcld 24748 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
28 ax-resscn 10248 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 41099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3423adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3533, 34ffvelrnd 6552 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3635adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 10316 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
38 reelprrecn 10283 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
40 reopn 40144 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 22888 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2842 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4530adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11600 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
49 etransclem6 41097 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
50 etransclem6 41097 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2791 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
52 0red 10299 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
5317zred 11732 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 41109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 23844 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5721, 56mulcld 10316 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 14752 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
59 nnm1nn0 11583 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6160faccld 13278 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6261nncnd 11294 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6361nnne0d 11324 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6458, 62, 63absdivd 14482 . . 3 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))))
6561nnred 11293 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 11600 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11603 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (!‘(𝑃 − 1)))
6865, 67absidd 14449 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(!‘(𝑃 − 1))) = (!‘(𝑃 − 1)))
6968oveq2d 6860 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
706, 64, 693eqtrd 2803 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
712, 58syl5eqel 2848 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
7271, 62, 63divcld 11057 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
731, 72syl5eqel 2848 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7473abscld 14463 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐾) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2845 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 11600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7876, 77reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8178, 80reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 10324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8346nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8482, 83mulcomd 10317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
86 1cnd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8785, 86npcand 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8988oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)))
9080nn0cnd 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9190, 85mulcomd 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 13221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 13221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
9897, 60expp1d 13219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 13218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10283, 101, 97mul12d 10501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
105102, 104eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
107106adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
108107oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
10921abscld 14463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
111103adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
112101adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
113110, 111, 112mulassd 10319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
114108, 113eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
115114sumeq2dv 14721 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
116110, 111mulcld 10316 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
1177, 101, 116fsummulc1 14804 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
118115, 117eqtr4d 2802 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
119118oveq1d 6859 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1207, 116fsumcl 14752 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
121120, 101, 62, 63divassd 11092 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
122119, 121eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12381adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 10326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 10326 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 14753 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 11328 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2845 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 10296 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13158abscld 14463 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 12071 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 14463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 14753 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 14820 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
13681ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 23626 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 12554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
141 volioo 23630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑗) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
14353, 139resubcld 10714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
147 iblconstmpt 40812 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 23858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 10326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 14753 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 14481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
15356abscld 14463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
15421absge0d 14471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 14463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 23889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 23858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 23895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥)
15927, 36absmuld 14481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) = ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))))
16027abscld 14463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ∈ ℝ)
161 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
16236abscld 14463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16327absge0d 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(e↑𝑐-𝑥)))
16436absge0d 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → e ∈ ℝ)
166 0re 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 15220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ e)
17023renegcld 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → -𝑥 ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 24763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 24764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ (e↑𝑐-𝑥))
173171, 172absidd 14449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
175171adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
176 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
177 0xr 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 40362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
18423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0 < 𝑥 ↔ -𝑥 < 0))
186183, 185mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℝ)
188 1lt2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 15219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 < e)
196170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℝ)
197 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 24759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (-𝑥 < 0 ↔ (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 24710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ ℂ → (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < 1)
203175, 176, 202ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ≤ 1)
204174, 203eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
205204adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ℝ ⊆ ℂ)
20730ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
20847ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20931, 49eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
21023adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 41104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) = ∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
213 nn0uz 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
21423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
215 nn0re 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℝ)
216215adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
218217adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
220219ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
221218, 220reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
223213, 208, 222fprodabs 14990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
224 elfznn0 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ∈ (0...𝑀) → ∈ ℕ0)
22524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
226 nn0cn 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℂ)
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℂ)
228225, 227subcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
229228adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
230224, 229sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
231219ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
232230, 231absexpd 14479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 14939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
235 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
238237abscld 14463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
239238adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 14471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
242241adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
243239, 231, 242expge0d 13236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℝ)
24824adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
249224, 227sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℂ)
250248, 249negsubdi2d 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
251250adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
252224adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℕ0)
253252nn0red 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℝ)
254 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
255210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
256 elfzle2 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0...𝑀) → 𝑀)
257256adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀)
258197, 184, 183ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
259258adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
260259adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
26283subid1d 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 − 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) ≤ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -𝑀 ≤ (𝑥))
267 elfzel2 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
268267zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 40378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
273 elfzle2 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
274273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
277276adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
278277adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑀)
279252nn0ge0d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
281280, 263breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
282247, 245absled 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)
284 leexp1a 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs‘(𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘(𝑥)) ∧ (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28646nnge1d 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
287286ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
288219nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
28977nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
290 iftrue 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
291290adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
29230nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
294293adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
296 iffalse 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃𝑃)
299298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → 𝑃𝑃)
300297, 299eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
302 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ↔ (if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 13251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃))
30878recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℂ)
309 fprodconst 14994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀𝑃) ∈ ℂ) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
311 hashfz0 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mulid2d 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 23870 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 10450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 11220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
326152, 325eqbrtrd 4833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
3277, 133, 150, 326fsumle 14818 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
328 itgconst 23879 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 11603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 13236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑃))
33278, 80, 331expge0d 13236 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
337336adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 11220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))) ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 4833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 11220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 14818 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 10450 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 10450 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 12131 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))))
345344, 122breqtrd 4837 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 10451 . 2 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 4833 1 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3734  ifcif 4245  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  Fincfn 8162  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  3c3 11330  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  (,)cioo 12380  ...cfz 12536  cexp 13070  !cfa 13267  chash 13324  abscabs 14262  Σcsu 14704  cprod 14921  eceu 15078  t crest 16350  TopOpenctopn 16351  topGenctg 16367  fldccnfld 20022  volcvol 23524  𝐿1cibl 23678  citg 23679  𝑐ccxp 24596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-ofr 7098  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-prod 14922  df-ef 15083  df-e 15084  df-sin 15085  df-cos 15086  df-tan 15087  df-pi 15088  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-ovol 23525  df-vol 23526  df-mbf 23680  df-itg1 23681  df-itg2 23682  df-ibl 23683  df-itg 23684  df-0p 23731  df-limc 23924  df-dv 23925  df-log 24597  df-cxp 24598
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