Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem23 45058
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
etransclem23.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem23.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
etransclem23.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗)   𝐿(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables β„Ž π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
32oveq1i 7421 . . . . . 6 (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
41, 3eqtri 2760 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
54fveq2i 6894 . . . 4 (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
7 fzfid 13940 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
10 elfznn0 13596 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
1110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
129, 11ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„€)
1312zcnd 12669 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 ere 16034 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 11230 . . . . . . . . 9 e ∈ β„‚
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ e ∈ β„‚)
17 elfzelz 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1817zcnd 12669 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
1918adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
2016, 19cxpcld 26223 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (e↑𝑐𝑗) ∈ β„‚)
2113, 20mulcld 11236 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) ∈ β„‚)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ β„‚)
23 elioore 13356 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2423recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2625negcld 11560 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
2722, 26cxpcld 26223 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
28 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 45043 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3533, 34ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3635adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3727, 36mulcld 11236 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
38 reelprrecn 11204 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
40 reopn 44084 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241tgioo2 24326 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4340, 42eleqtri 2831 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4530adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4746nnnn0d 12534 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
49 etransclem6 45041 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
50 etransclem6 45041 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
52 0red 11219 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5317zred 12668 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 45053 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 25308 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
5721, 56mulcld 11236 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
587, 57fsumcl 15681 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
59 nnm1nn0 12515 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6160faccld 14246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
6261nncnd 12230 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6361nnne0d 12264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
6458, 62, 63absdivd 15404 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
6561nnred 12229 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 12534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
6766nn0ge0d 12537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6865, 67absidd 15371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6968oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
706, 64, 693eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
712, 58eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
7271, 62, 63divcld 11992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
731, 72eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
7473abscld 15385 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
7876, 77reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 12514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8178, 80reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
8346nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8482, 83mulcomd 11237 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
86 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
8785, 86npcand 11577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
8988oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
9080nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9190, 85mulcomd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1) Β· 𝑃) = (𝑃 Β· (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 14116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 14116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
9897, 60expp1d 14114 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10283, 101, 97mul12d 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
104101, 103mulcomd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
105102, 104eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
107106adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
108107oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
10921abscld 15385 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 11244 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ β„‚)
111103adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
112101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
113110, 111, 112mulassd 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
114108, 113eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
115114sumeq2dv 15651 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
116110, 111mulcld 11236 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
1177, 101, 116fsummulc1 15733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
118115, 117eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
119118oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1207, 116fsumcl 15681 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
121120, 101, 62, 63divassd 12027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
122119, 121eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
12381adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 15682 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 12268 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 11217 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13158abscld 15385 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 13016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 15385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 15682 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 15749 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
13681ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 25089 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 13506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑗)
141 volioo 25093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑗) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
14353, 139resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
147 iblconstmpt 44757 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 25322 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 15682 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 15403 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
15356abscld 15385 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15421absge0d 15393 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 15385 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 25353 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 25322 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 25359 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯)
15927, 36absmuld 15403 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
16027abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ∈ ℝ)
161 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
16236abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16327absge0d 15393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)))
16436absge0d 15393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ e ∈ ℝ)
166 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≀ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ e)
17023renegcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 26238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 26239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ (e↑𝑐-π‘₯))
173171, 172absidd 15371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
174173adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
175171adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
176 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
177 0xr 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 44293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
18423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0 < π‘₯ ↔ -π‘₯ < 0))
186183, 185mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ ℝ)
188 1lt2 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 16151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) β†’ 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 < e)
196170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
197 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 26234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (-π‘₯ < 0 ↔ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 26185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ β„‚ β†’ (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < 1)
203175, 176, 202ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ≀ 1)
204174, 203eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
205204adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
20730ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
20847ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
20931, 49eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
21023adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 45048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
213 nn0uz 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
21423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
215 nn0re 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ ℝ)
216215adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
218217adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
220219ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
221218, 220reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
223213, 208, 222fprodabs 15920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
224 elfznn0 13596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
22524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
226 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ β„‚)
227226adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
228225, 227subcld 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
229228adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
230224, 229sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
231219ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
232230, 231absexpd 15401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 15869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
235 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²β„Ž((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 13940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
238237abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
239238adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 15393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
242241adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
243239, 231, 242expge0d 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
24824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
249224, 227sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
250248, 249negsubdi2d 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
251250adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
252224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
253252nn0red 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
254 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
255210adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
256 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
258197, 184, 183ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
259258adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
26283subid1d 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž))
267 elfzel2 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
268267zred 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 44308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
273 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
274273adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
277276adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
278277adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
279252nn0ge0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ β„Ž)
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
281280, 263breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
282247, 245absled 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∧ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)
284 leexp1a 14142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
28646nnge1d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
287286ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 1 ≀ 𝑀)
288219nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€)
28977nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
290 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
291290adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
29230nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
294293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
296 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
300297, 299eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
302 eluz2 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ↔ (if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 15942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃))
30878recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚)
309 fprodconst 15924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
311 hashfz0 14394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 12158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mullidd 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 25334 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 11373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 12156 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
326152, 325eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
3277, 133, 150, 326fsumle 15747 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
328 itgconst 25343 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 14131 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑃))
33278, 80, 331expge0d 14131 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 11562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
337336adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 12156 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))) ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 12156 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 15747 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 11373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 11373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 13076 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
345344, 122breqtrd 5174 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 11374 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 5170 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  β†‘cexp 14029  !cfa 14235  β™―chash 14292  abscabs 15183  Ξ£csu 15634  βˆcprod 15851  eceu 16008   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  volcvol 24987  πΏ1cibl 25141  βˆ«citg 25142  β†‘𝑐ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  etransclem47  45082
  Copyright terms: Public domain W3C validator