Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem23 44572
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
etransclem23.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem23.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
etransclem23.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗)   𝐿(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables β„Ž π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
32oveq1i 7372 . . . . . 6 (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
41, 3eqtri 2765 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
54fveq2i 6850 . . . 4 (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
7 fzfid 13885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
98adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„€)
10 elfznn0 13541 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
1110adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
129, 11ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„€)
1312zcnd 12615 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 ere 15978 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 11176 . . . . . . . . 9 e ∈ β„‚
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ e ∈ β„‚)
17 elfzelz 13448 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1817zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
1918adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
2016, 19cxpcld 26079 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (e↑𝑐𝑗) ∈ β„‚)
2113, 20mulcld 11182 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) ∈ β„‚)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ β„‚)
23 elioore 13301 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2423recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2524adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2625negcld 11506 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
2722, 26cxpcld 26079 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
28 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 44557 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3423adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3533, 34ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3635adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3727, 36mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
38 reelprrecn 11150 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
40 reopn 43597 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241tgioo2 24182 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4340, 42eleqtri 2836 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4530adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4746nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
49 etransclem6 44555 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
50 etransclem6 44555 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2769 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
52 0red 11165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5317zred 12614 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 44567 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 25164 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
5721, 56mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
587, 57fsumcl 15625 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ β„‚)
59 nnm1nn0 12461 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6160faccld 14191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
6261nncnd 12176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6361nnne0d 12210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
6458, 62, 63absdivd 15347 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
6561nnred 12175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
6766nn0ge0d 12483 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6865, 67absidd 15314 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6968oveq2d 7378 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (absβ€˜(!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
706, 64, 693eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) = ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
712, 58eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
7271, 62, 63divcld 11938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
731, 72eqeltrid 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
7473abscld 15328 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
7876, 77reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
8178, 80reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
8346nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8482, 83mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
86 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
8785, 86npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
8988oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
9080nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9190, 85mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1) Β· 𝑃) = (𝑃 Β· (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 14061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑((𝑀 + 1) Β· 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 14061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑃 Β· (𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
9897, 60expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 14058 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10283, 101, 97mul12d 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
104101, 103mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
105102, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
107106adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) = ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
108107oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
10921abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) ∈ β„‚)
111103adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
112101adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
113110, 111, 112mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ((𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)))))
114108, 113eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
115114sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
116110, 111mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
1177, 101, 116fsummulc1 15677 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
118115, 117eqtr4d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))))
119118oveq1d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
1207, 116fsumcl 15625 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
121120, 101, 62, 63divassd 11973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
122119, 121eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
12381adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 11192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 11192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 15626 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 12214 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 11163 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13158abscld 15328 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 12962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 15328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 15626 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 15693 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
13681ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑗)
141 volioo 24949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑗) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = (𝑗 βˆ’ 0))
14353, 139resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
147 iblconstmpt 44271 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 25178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 15626 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 15346 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) = ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)))
15356abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ∈ ℝ)
15421absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 25209 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ↦ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 25178 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 25215 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯)
15927, 36absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
16027abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ∈ ℝ)
161 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
16236abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16327absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)))
16436absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ e ∈ ℝ)
166 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 16096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≀ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ e)
17023renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 26094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 26095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ 0 ≀ (e↑𝑐-π‘₯))
173171, 172absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
174173adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) = (e↑𝑐-π‘₯))
175171adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ ℝ)
176 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 ∈ ℝ)
177 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 < π‘₯)
18423adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0 < π‘₯ ↔ -π‘₯ < 0))
186183, 185mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ e ∈ ℝ)
188 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 16095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) β†’ 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 1 < e)
196170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
197 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 26090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (-π‘₯ < 0 ↔ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 26041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ β„‚ β†’ (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) < 1)
203175, 176, 202ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ≀ 1)
204174, 203eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
205204adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) ≀ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
20730ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
20847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
20931, 49eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆβ„Ž ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑𝑃)))
21023adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 44562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
213 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
21423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
215 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ ℝ)
216215adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
218217adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
220219ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
221218, 220reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
223213, 208, 222fprodabs 15864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
224 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
22524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
226 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ β„•0 β†’ β„Ž ∈ β„‚)
227226adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
228225, 227subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
229228adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
230224, 229sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
231219ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
232230, 231absexpd 15344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 15813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(absβ€˜((π‘₯ βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
235 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²β„Ž((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ β„‚)
238237abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
239238adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
242241adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)))
243239, 231, 242expge0d 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∈ ℝ)
24824adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
249224, 227sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„‚)
250248, 249negsubdi2d 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (0(,)𝑗) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
251250adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) = (β„Ž βˆ’ π‘₯))
252224adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ β„•0)
253252nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
254 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ)
255210adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
256 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž ∈ (0...𝑀) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
257256adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
258197, 184, 183ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
259258adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
260259adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
26283subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„Ž βˆ’ π‘₯) ≀ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -(π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ -𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž))
267 elfzel2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
268267zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑗 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑗)
273 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
274273adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
277276adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
278277adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
279252nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ β„Ž)
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ (𝑀 βˆ’ 0))
281280, 263breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)
282247, 245absled 15322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≀ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ∧ (π‘₯ βˆ’ β„Ž) ≀ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)
284 leexp1a 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž)) ≀ 𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
28646nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
287286ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 1 ≀ 𝑀)
288219nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€)
28977nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
290 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
291290adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
29230nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
294293adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ≀ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
296 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
299298adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ 𝑃 ≀ 𝑃)
300297, 299eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ Β¬ β„Ž = 0) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃)
302 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ↔ (if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ≀ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 14164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ (𝑀↑𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 15886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃))
30878recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚)
309 fprodconst 15868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀↑𝑃) ∈ β„‚) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))))
311 hashfz0 14339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑𝑃)↑(β™―β€˜(0...𝑀))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)(𝑀↑𝑃) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ βˆβ„Ž ∈ (0...𝑀)((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ β„Ž))↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (1 Β· ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ ((absβ€˜(e↑𝑐-π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝑗)) β†’ (absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 25190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)(absβ€˜((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) dπ‘₯ ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯) ≀ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 12102 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
326152, 325eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
3277, 133, 150, 326fsumle 15691 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯))
328 itgconst 25199 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ = (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 14076 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑃))
33278, 80, 331expge0d 14076 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
337336adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (volβ€˜(0(,)𝑗)) ≀ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 12102 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· (volβ€˜(0(,)𝑗))) ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯ ≀ (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 12102 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ ((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 15691 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· ∫(0(,)𝑗)((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) dπ‘₯) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 11319 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(absβ€˜(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 11319 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) ≀ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 13022 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (((𝑀↑𝑃)↑(𝑀 + 1)) Β· 𝑀)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
345344, 122breqtrd 5136 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ≀ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((absβ€˜((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗))) Β· (𝑀 Β· (𝑀↑(𝑀 + 1)))) Β· (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 11320 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(((π΄β€˜π‘—) Β· (e↑𝑐𝑗)) Β· ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 5132 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΎ) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  (,)cioo 13271  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  β™―chash 14237  abscabs 15126  Ξ£csu 15577  βˆcprod 15795  eceu 15952   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998  β†‘𝑐ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  etransclem47  44596
  Copyright terms: Public domain W3C validator