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Theorem etransclem23 42408
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
etransclem23.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem23.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
etransclem23.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
32oveq1i 7158 . . . . . 6 (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
41, 3eqtri 2849 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
54fveq2i 6670 . . . 4 (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1))))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))))
7 fzfid 13331 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
10 elfznn0 12990 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
129, 11ffvelrnd 6848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
1312zcnd 12077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 ere 15432 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 10644 . . . . . . . . 9 e ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
17 elfzelz 12898 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1817zcnd 12077 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2016, 19cxpcld 25204 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
2113, 20mulcld 10650 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℂ)
23 elioore 12758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625negcld 10973 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℂ)
2722, 26cxpcld 25204 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
28 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 42393 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3533, 34ffvelrnd 6848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3635adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 10650 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
38 reelprrecn 10618 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
40 reopn 41420 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 23326 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2916 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4530adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11944 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
49 etransclem6 42391 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
50 etransclem6 42391 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2853 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
52 0red 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
5317zred 12076 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 42403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 24299 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5721, 56mulcld 10650 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 15080 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
59 nnm1nn0 11927 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6160faccld 13634 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6261nncnd 11643 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6361nnne0d 11676 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6458, 62, 63absdivd 14805 . . 3 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))))
6561nnred 11642 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 11944 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11947 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (!‘(𝑃 − 1)))
6865, 67absidd 14772 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(!‘(𝑃 − 1))) = (!‘(𝑃 − 1)))
6968oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
706, 64, 693eqtrd 2865 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
712, 58eqeltrid 2922 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
7271, 62, 63divcld 11405 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
731, 72eqeltrid 2922 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7473abscld 14786 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐾) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2919 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7876, 77reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8178, 80reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8346nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8482, 83mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
86 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8785, 86npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8988oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)))
9080nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9190, 85mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
9897, 60expp1d 13501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 13500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10283, 101, 97mul12d 10838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
105102, 104eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
107106adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
108107oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
10921abscld 14786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
111103adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
112101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
113110, 111, 112mulassd 10653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
114108, 113eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
115114sumeq2dv 15050 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
116110, 111mulcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
1177, 101, 116fsummulc1 15130 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
118115, 117eqtr4d 2864 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
119118oveq1d 7163 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1207, 116fsumcl 15080 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
121120, 101, 62, 63divassd 11440 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
122119, 121eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12381adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 10660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 10660 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 15081 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 11680 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2919 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 10631 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13158abscld 14786 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 12419 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 14786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 15081 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 15146 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
13681ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 24081 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
141 volioo 24085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑗) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
14353, 139resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
147 iblconstmpt 42106 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 24313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 10660 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 15081 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 14804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
15356abscld 14786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
15421absge0d 14794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 24344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 24313 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 24350 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥)
15927, 36absmuld 14804 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) = ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))))
16027abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ∈ ℝ)
161 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
16236abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16327absge0d 14794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(e↑𝑐-𝑥)))
16436absge0d 14794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → e ∈ ℝ)
166 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 15550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ e)
17023renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → -𝑥 ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 25219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 25220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ (e↑𝑐-𝑥))
173171, 172absidd 14772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
174173adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
175171adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
176 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
177 0xr 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 41635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
18423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0 < 𝑥 ↔ -𝑥 < 0))
186183, 185mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℝ)
188 1lt2 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 15549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 < e)
196170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℝ)
197 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 25215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (-𝑥 < 0 ↔ (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 25166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ ℂ → (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < 1)
203175, 176, 202ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ≤ 1)
204174, 203eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
205204adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ℝ ⊆ ℂ)
20730ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
20847ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20931, 49eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
21023adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 42398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) = ∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
213 nn0uz 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
21423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
215 nn0re 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℝ)
216215adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
218217adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
220219ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
221218, 220reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
223213, 208, 222fprodabs 15318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
224 elfznn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ∈ (0...𝑀) → ∈ ℕ0)
22524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
226 nn0cn 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℂ)
227226adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℂ)
228225, 227subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
229228adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
230224, 229sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
231219ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
232230, 231absexpd 14802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
235 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
238237abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
239238adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
242241adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
243239, 231, 242expge0d 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℝ)
24824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
249224, 227sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℂ)
250248, 249negsubdi2d 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
251250adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
252224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℕ0)
253252nn0red 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℝ)
254 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
255210adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
256 elfzle2 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0...𝑀) → 𝑀)
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀)
258197, 184, 183ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
259258adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
26283subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 − 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) ≤ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -𝑀 ≤ (𝑥))
267 elfzel2 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
268267zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 41651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
273 elfzle2 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
274273adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
277276adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
278277adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑀)
279252nn0ge0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
281280, 263breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
282247, 245absled 14780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)
284 leexp1a 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs‘(𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘(𝑥)) ∧ (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28646nnge1d 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
287286ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
288219nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
28977nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
290 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
291290adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
29230nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
294293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
296 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃𝑃)
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → 𝑃𝑃)
300297, 299eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
302 eluz2 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ↔ (if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃))
30878recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℂ)
309 fprodconst 15322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀𝑃) ∈ ℂ) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
311 hashfz0 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 24325 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 10786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 11569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
326152, 325eqbrtrd 5085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
3277, 133, 150, 326fsumle 15144 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
328 itgconst 24334 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 13518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑃))
33278, 80, 331expge0d 13518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
337336adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 11569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))) ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 5085 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 11569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 15144 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 10786 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 12479 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))))
345344, 122breqtrd 5089 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 10787 . 2 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 5085 1 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  ifcif 4470  {cpr 4566   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  (,)cioo 12728  ...cfz 12882  cexp 13419  !cfa 13623  chash 13680  abscabs 14583  Σcsu 15032  cprod 15249  eceu 15406  t crest 16684  TopOpenctopn 16685  topGenctg 16701  fldccnfld 20461  volcvol 23979  𝐿1cibl 24133  citg 24134  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-prod 15250  df-ef 15411  df-e 15412  df-sin 15413  df-cos 15414  df-tan 15415  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135  df-itg1 24136  df-itg2 24137  df-ibl 24138  df-itg 24139  df-0p 24186  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
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